Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
N
при любых s0, то это означает, что
FcO(p*) — p*R>0, (5.9.30)
и, следовательно, что Er (R) > 0 при всех R < С. Выпуклость ?r (R) можно установить, если заметить, что Ет (R) является верхней гранью множества прямых линий Foa{р) — рR. Наконец, в силу того, что Fx (р) — PR равна нулю при р = 0, получаем, что при R < С функция Fx (р) — рR достигает максимума на интервале 0 ^ р ^ 1 прн некотором р > 0. Любое уменьшение R при этом фиксированном р приводит к увеличению Fx (р) — рR и, следовательно, Er (R) является строго убывающей функцией R для R < С. \
Состояние известно на приемном конце
Рассмотрим теперь частный случай полученных выше результатов, в котором состояние в момент п является детерминированной функцией выхода в момент п и состояния в момент п — 1, т. е. sn = g (уп, sn_i). В этом случае приемник способен проследить за состоянием канала, если оно было известно когда-либо в прошлом. Пример такого канала представлен на рис. 5.9.1 и в этом примере sn является функцией только уп. В каждом состоянии канал является ДСК; выходы 0 и1 соответствуют входу 0, а выходы 2 и 3 соответствуют входу 1. Выходы
0 и 3 соответствуют состоянию 0, а выходы 1 и 2 соответствуют состоянию 1. Можно увидеть, если не обращать внимания на числа, что эта модель является моделью того самого типа, что и модель, представленная на рис. 4.6.1, за исключением того, что здесь выходной алфавит был расширен для того, чтобы учесть предположение о том, что состояние канала является известным. Эта модель является простой и довольно грубой аппроксимацией канала с замираниями, в котором используется алфавит из двух сигналов на входе и в котором приемник не только строит решения о том, что было на входе, но также измеряет уровень принятого сигнала.
Чтобы исследовать этот класс каналов, заметим, что последовательность на выходе у = {у1у ..., yN) и начальное состояние s0 однозначно определяют последовательность состояний s = (sb ..., sN), для которой примем обозначения s (у, s0). Теперь имеем
(/Му, | х, s0) при s = s (у, s0),
Pn (у, s х, s0) — n
J 1 [0 во всех остальных случаях,
Fq,n (p. Qn, s0) =
= —l-ln2Z{ZQN(x)PN(y, s IX, SoV/O + PH' + P
Jv у S 1 X J
(5.9.31)
(5.9.32) 197
Для того чтобы доказать (5.9.32), заметим, что для любого у сумма по s не равна нулю лишь в случае, когда s = s (у, s0) и для этого значения s имеем PN(у, s | х, s0) = PN (yjx, s0). Таким образом, (5.9.32) эквивалентно определению Е0 N (р, QN, s0) в (5.9.8).
ffSnj Sn-t)
Рис. 5.9.1. Простая модель канала с замираниями.
Предположим теперь, что QN (х) представляет собой произведение мер (т. е. последовательные буквы в ансамбле кодовых слоев выбираются независимо):
N
Q/v(x)= П Q(xn). (5.9.33)
п= 1
В этом случае (5.9.32) приводится к виду
?o.tf(p, Qa^ so) =
— In22 2 П Q(xn)P(yn, sn\xn, s„_a)1/(1 + p)
N S у I X f!=l
1+P
(5.9.34)
•-=-—JrlnS П 2 { 2 Q(k)P(j, Sn\k, Vi)1/(!+p>[ . (5.9.35)
N s «= i /=o U = o J
где был изменен порядок взятия произведения и суммирования, так же как и при переходе от (5.5.6) к (5.5.10). Если для заданных р и Q определить
a(sn-i> «»)== .S ( 2 Q(k)P(j, sn\k, sn_a),/(1 + p)1 /=о U=o
то будем иметь
N
Eo,n( р, Qn, s0) =-------------In J П a (s„_!, sn).
N s n= 1
(5.9.36)
(5.9.37)
198
Определим теперь матрицу Ах А
Обозначим через 1] Л-мерный вектор-столбец, состоящий из одних единиц, и обозначим через е (s0) Л-мерны-й единичный вектор-строку
L . -
с 1 в позиции, соответствующей s0, т. е. в первой позиции для s0 = О и в i-й позиции для s0 = i — 1. Немного подумав, можно заметить, что (5.9.37) можно записать в виде
Квадратная матрица [а] называется неприводимой, если с помощью перестановки соответствующих столбцов и строк (т. е. с помощью перенумерации состояний) невозможно привести ее к виду
где и а3 — квадратные матрицы. Без труда можно показать, что [а] является неприводимой, тогда и только тогда, когда можно с ненулевой вероятностью достигнуть любое состояние из любого другого состояния за конечное число шагов при использовании Q (k) в качестве распределения на входе. Если [а] неприводима, то можно применить теорему Фробениуса*), которая утверждает, что неприводимая ненулевая матрица с неотрицательными элементами имеет наибольшее положительное собственное значение Я, соответствующее правому собственному вектору v] и левому собственному вектору и, которые имеют положительные компоненты. Т. е. считая, что v] является вектором-столбцом, имеем
