Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
При построении математической модели физических каналов с памятью часто желательно рассматривать в качестве памяти канала некоторые имеющие физический смысл параметры (такие, как уровень замирания в линии передачи с медленными замираниями). В этих случаях канал продолжает описываться вероятностной мерой на выходе и состоянии при условии, что заданы вход и предыдущее состояние, но состояние, возможно, не определяется предыдущими входами и выходами.
Для простоты исследования здесь будут рассмотрены только каналы с дискретным конечным множеством состояний, т. е. каналы с конечным множеством возможных состояний, вероятности которых не зависят от времени. Точнее, дискретный канал с конечным множеством состояний имеет на входе последовательность х = ..., x—i, х0, хъ ..., на выходе последовательность у = г/_1( у0, уъ ... и
113
ЙбсЛедо&ательность состояний S = s_________j, s„, Sj, ... . Входные бук-
вы xn принимают значения из алфавита {0, 1, ..., К — 1}, выходные буквы уп принимают значения из алфавита {0, 1, J — 1}, а состояния sn — значения из множества {0, 1, А — 1}. Статистически канал описывается условной вероятностью Р (уп, sn |хп, s„_i). Эта вероятность не зависит от п, и Р можно рассматривать просто как функцию четырех переменных, каждая из которых принимает целочисленные значения, 0^yn^.J—1, 0 ^ sn ^ А — 1,
^ А—1, 0-^Хп^К— 1. Будем считать, что при условии, что заданы хп и sn_i, пара уп, sn статистически независима от всех выходов, входов и состояний, предшествующих уп, хп и sn_i соответственно.
ю'-
in Р(уп\хп Sn-i-O) уп
Рис. 4.6.1. Канал с конечным числом состояний; простая модель канала с замираниями (с пачками ошибок).
Последующие примеры являются частными случаями каналов с конечным числом состояний (ККЧС), в которых имеется статистическая независимость между уп и sn, при условии, что заданы хп и Sn— 1 > Т. е. Р (уп, sn \хп, Sn-i) = р (уп\ Хп, Sn-i) q (sn \хп, s„_i). Можно представить q с помощью графа, а Р с помощью обычных диаграмм, как это показано на рис. 4.6.1 и 4.6.2. На графах состояния изображены с помощью маленьких кружков. Направленные ребра обозначают переходы из одного состояния в другое; число на каждом ребре указывает вероятность перехода. Если вероятность перехода зависит от хп, то значение хп, соответствующее этой вероятности, дано в круглых скобках. Например, самое верхнее ребро на рис. 4.6.1 представляет переход из состояния 0 в состояние 1. Число, написанное на ребре, 10~4, является условной вероятностью перехода в состояние 1 при условии того, что задано предыдущее состояние 0 и задана 0 или 1 как текущая входная буква, т. е. q (sn | хп, sn_i) = Ю"4 npns^-i == О, sn = 1. Подобно этому самое верхнее ребро на рис. 4.6.2 указывает, что для этого ККЧС q (sn \хп, s„_i) = 1 при sn = 1, s„_i = 0, хп = 1.
Заметим, что канал, изображенный на рис. 4.6.1, имеет тенденцию пребывать в том состоянии, в котором он находится, оставаясь в состоянии 0 для типичной серии из 104 символов ив состоянии 1 для 114
типичной серии из 100 символов, Этот тип канала дает простую для понимания (но не всецело адекватную) модель для двоичной передачи данных по линиям связи с медленными замираниями. Большинство времени канал находится в состоянии 0, фактически не внося ошибки в передаваемые символы. Случайно канал переходит в состояние 1 (состояние замирания) и в течение примерно 100 символов около 3/10 принятых на выходе канала символов будут ошибочными. Этот канал можно представить себе как ДСК с зависящей от времени вероятностью ошибки, которая попеременно принимает значения 10~Б и 0,3. Последовательность состояний, которая определяет эту вероят-
1(х = ¦/)
Хп Sr;-t~0) уп
-3
1-10
ХП Р(уп \х„ sn-t=f) уп
1-10'
Рис. 4.6.2. ККЧС; простая модель межсимвольной интерференции.
ность ошибки, является цепью Маркова. Эта модель не является полностью удовлетворительной моделью двоичной передачи данных по линии связи с замираниями отчасти в связи с тем, что ее, как не удивительно, трудно изучать, а отчасти потому, что каждый реальный канал оказывается требует отличную модель с конечным числом состояний (обычно с более чем двумя состояниями).
Канал, изображенный на рис. 4.6.2, является простой моделью канала с межсимвольной интерференцией. Можно заметить, что значение состояния, принимаемое в какой-либо момент времени, совпадает со входом в этот момент. Таким образом, Р (yn \ xn, sn—\) в этом случае дает вероятность текущего выхода при условии, что заданы текущий и предыдущий входы. Вероятность ошибки (т. е. того, что упфх„) больше, когда хпфхп—\, чем, когда хп = хп~\- Подсчитывая вероятность выхода при заданном текущем входе, находим, Р (уп \ хп) = = Q (0) Р(уп\хп, 0) + Q (1) Р (уп\хп, 1), где Q — распределение вероятностей для хп~\. Важно отметить, что Р (уп\хп) зависит от распределения на входе канала и, таким образом, не определяется полностью только каналом. Это вообще характерно для любого канала с конечным числом состояний, в котором последовательность состоя-
