Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
2
Уи
+ У 2 J г (/) cos (2n.fi t) dt.
Первое слагаемое имеет дисперсию с$, так как у1(; имеет дисперсию ’S/Т', последний интеграл является гауссовской случайной величиной с дисперсией N0/2 и произведение этой случайной величины на у 2, следовательно, имеет дисперсию jV0. Так как эти слагаемые независимые и гауссовские, то сумма является гауссовской случайной величиной с дисперсией <? + N0. Этот же вывод применим кУг.г- Те же доводы также применимы к y1,s(J =f= г), за исключением того, что здесь отсутствует компонента сигнала; это приводит к дисперсии N0.
(б) Р [у \x1(t)} Р [У I *2 (0] =
1
2л(.?о+ cS)2nN0
1
ехр
2л(Д,о <9) 2jiNо
ехр
_ (Уi,i +yj,i)
k 2 (Л^о + <з)
(yf.i+yg.i)
2Na
_ (У?.»+У|.«)
2Д/0
(У1, 2 +У1, г)" 2(A/„ + g) .
683
г (у) = ¦
1
Взяв логарифм от отношения, получаем
(<A,i+yh)( 1
2 I JV0 Л/о + г?
{У\,г+У\,г) (_j_ 1 ^
/Vo /V0 + <э /
Обозначим первый член приведенного выше выражения через а второй — через s2. При заданном Хл(1) член s1 представляет собой сумму квадратов двух одинаково распределенных гауссовских случайных величин и, следовательно, имеет экспоненциальное распределение. Среднее значение sx равно
Таким образом,
(No + с$)
1
N0 N0 + %
No
¦ exp
No
JL
N0 '
, > 0, , Sj < 0.
Аналогично при заданном хг (t) распределение s2 экспоненциально со средним
1
N0 N0 "Ъ 7 Л^о -f*
и, следовательно,
ехр
No ~Ь
с? '
> 0,
р2 (s2 | *i (0) =
О , s2 < 0.
Так как s2 и независимы [при заданном x1(t)]i то распределение r = sx—S2 можно найти с помощью соотношений
р(г 1*1 (/)) =_[/?! (Si I Xj (О) Р2 («1 — ^ I *1 (0) dSj =
Л^р (Л^р + (f )
8(2ЛГ0 + Я)
ЛГоМ>+8)
ехр
~N0 + 4g »(2tf0+ff) 0ХР[ » Г
Г Us.
L
ПУр +
[ »
, r > 0, , '•<0.
Из симметрии ясно, что
Pi — r\x2 (t))=p(r\x1(t)).
(в) При декодировании по максимуму правдоподобия декодируется х,, если г(у) > 0, и ) если г(у) < 0. Следовательно,
Ре — Ре, 1=
J P(r\xi(t))dr =
No (Np+Щ CS(2N0 + CS)
— ОО
(г) Из (8.6.22) находим Ре,т< ехр
ехр
N о + 5
dr-~
No
1
— 21n ( l+-^-)+ln( 1+ —
1 Wo I { N0 !
2N0 + W 2+(c//V0 l+cS/N0
(1 +»/2JV0)
684
Заметим, что эта граница отличается от точного результата множителем 2 при 1S/Nо -» 0 и множителем 4 при $//V0 -> оо.
(д) Заметим, что tpjfO = UV Т —собственная функция (8.6.7) и что соответствующее собственное значение равно Xj = <?. Это можно увидеть, подставляя эти значения в (8.6.7). Для любой функции Ф;-(0, ортогональной фх(0,
Т
СО <$ С
— <?j(t)dt = — VT\ ф1(0 <pj(t)dt=0.
—т
Следовательно, все другие собственные значения равны 0. Если принять, что о(/) — гладкая унимодальная функция, то предположение, что ее преобразование Фурье М{х) постоянно на (—Т,Т), указывает, что о(/), по существу, равно нулю для | / | ^> 1/27’ или что допплеровский сдвиг мал по сравнению с 1/27’.
8.22. (а) Из (8.6.15) видно, что декодер максимального правдоподобия выбирает гп, которое максимизирует Рх(ут)/Ро(Ут), гДе
Pi (Ут) Ро (Ут)
п п
/= I /=1
[2я (/V0 + Я,^)] 11,2 ехр [ — yi,m,jl2(N0 + ^-)1
(2nN0)~ 1/2 ехр [ — yi,m,jl2N0]
Беря логарифм от этого выражения и опуская члены, не зависящие от т, выбираем т, которое максимизирует выражение
22
i=l j= 1
1
~2N~o
2
2
i = 1 /= 1
N n
Опуская множитель V2 (который не отражается при максимизации по т), получаем требуемый результат.
(б) Приведенную выше сумму можно переписать, используя сначала энергетическое соотношение (8.1.16) и затем определение yt,m,j (8.6.10). Получаем
