Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
8.17. Для ут > 0 имеем
Q (Ут) < (М — 1)р ехр [— ут р/2], 0 < р < I.
Для ут 0, Q(ym)< 1. Подставляя эти границы в (8.2.32), получаем
о
< \ —jzzr ехр Г-
У2л L
(Ут А)2
+ J
О
(М — 1)р 1/2л
ехр
(Ут~А)2
Ут р
dy-m + d-Ут'
Первое слагаемое приведенного выше выражения можно оценить сверху, раскрывая квадрат и пренебрегая перекрестным членом. Второе слагаемое
679
можно оценить сверху, распространяя нижний предел интегрирования до — ос и дополняя затем показатель до полного квадрата. Получаем
_Le-A2/2_j_
~\/1 +(
ехр
р А*_ 1 + Р 2
Оценивая сверху (1 + р)~,/'2 единицей, первое слагаемое — половиной второго, М — 1 — с помощью ег/? и беря А = / 2'ГС00, это неравенство приводим к виду
ре,т 3/2 ехр
ТС ОС
рят\.
1+р J
Минимум по р, 0< р < 1, имеет место при (l + pj'^C^,//?, Сл/-1 A! Cv. Для R^C^f4 минимум имеет место при р = 1. Следовательно,
Ре.т < 3/2ехр [-T(VcZ-VR)2}-, CJ4 < R < Сх,
Ре,т < 3/г ехР [ Т R)]; R < С=о/4 •
8.18.(а) При условии, что послано сообщение т, ошибка произойдет, если гт’ ^ гт ПРИ каком-либо т' фт. Следовательно,
Pe,m — \drm РГт(гт | т) Рг [гт, > гт, при каком-либо т' ф т | т, гт\. ^
При заданном т и любых т! =fc т случайные величины гт. одинаково распределены и, следовательно, используя (5. 6. 2), имеем
Рг [гт. > гт при каком-либо пъ ф пъ\ ш, гт\ ^
< (М— 1)р Рг [гт, > гт | т,гт]р,
где т.' в правой части фиксированное, однако произвольное целое число, не равное т., и 0 < р < 1. Подставляя это в (1) и используя rm = ут, 1 + ytn,2, получаем
Ре,т < (М— 1)р JJ р (утл, ут,2 | т) Рг [г т, > гт\ т, rm\p dym,i dym .о. (2)
(б) При условии, что передано т, rm,=yfn, х +у~т' 2'—сУмма квадратов
двух независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями NJ2. Сле* довательно,
Рг [г < гт, < г + Д] = JJdym.tldym.tiX 1
X
JTjVq
ехр
" У т', 1 — Ут ’ , 2
JV0
где интеграл берется по области г < ут’, i+ym',2 ; г + Д. Для малых Д площадь области интегрирования равна л(г + Д) — лг и подынтегральное выражение постоянно (с точностью до первого порядка по А). Следовательно, плотность г , равна
Р(гт’ \тфт') = ~ехр1 — гт,^0], IV о
(3)
Рг \гт, > г | т, г 1 = ехр 1 т I т1 г
гт
Na
680
При условии, что фаза принятого сообщения 0 равна 0, видим, что ут,\ = = VST + zm,i и ут,2= zm>2, где гтл и гт>2 — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями jV0/2. Следовательно,
Р (Ут,1> Ут,2 16 — 0) — {Утл-VST?
яМп
ехр
Л'п
2
Ут, 2
Nn
(4)
Подставляя (3) и (4) в (2) (которое теперь рассматривается при условии 0 = 0) и вспоминая, что гт = ут,\ + Ут, 2, имеем
(М — 1)р J J р (Утлу Ут,2 I 0 — 0) X
X ехр
X Рг [rm- > rm I т, rm\p dijm,i dym,2 = (M -| STf 2 - 12 ' '
l)c
1
X
(г/п
nb
2
У in, 2 No
(M- 1)P 1+P
exp
(ym,i + yfn,z) p N0 ST p N0 l + p
nN о
^Ут, 1 dym,2 “
(5)
где интеграл вычисляется обычным методом дополнения до полного квадрата.
Наконец, заметим, что приведенное выше подынтегральное выражение как функция, определенная на плоскости ут<1, ут%2, равно произведению гауссов ской функции с максимумом в точке ("l/ST, 0) на сферически симметричную экспоненциальную функцию с центром в начале координат. Изменение в задании угла 0 будет поворачивать центр гауссовской функции, приводя к тому же результату, что и поворот осей. Следовательно, интеграл не зависит от 0.
(в) Для М — 2 имеется только одно сообщение т!, отличное от переданного т. Поэтому равенство (1) принимает вид
pe,m = l drm Prm(rm I т) Рг [г„
> Гг,
где т' Ф пг. Это выражение такое же , как и правая часть (2) для р = 1 и М = 2, атак как с того места не использовались операции оценивания, то Ре,т — = 1/2 ехр [—ST12N0] для М = 2. Для произвольного М
МР ехр
(М— 1)Р
(1+Р) ST / р N0 V 1+Р
ехр
= ехр
ST р No 1+р — Т I С
1 + f
-рЛ
1,
где R=ln М/Т и C = S/N0. Это выражение минимизируется по р, 0< р при (1+р)2 = С/7? для C/4<R<Ch при р=1 для R<^C/4. Имеем
