Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Напомним, что в двоичных кодах максимальной длины каждая пара кодовых слов совпадает в (N — 1 )/2 позициях и не совпадает в (N + 1)/2 позициях. Следовательно,
п=1 ^
для всех т ф т',
N + 1
= т
где М =N + 1 — число кодовых слов. Очевидно, энергия любого кодового слова равна jxm(t) dt = N = М — 1. Отсюда видно, что отношение энергии кодового слова к квадрату расстояния равно (М \)!2М, что согласуется с результатом
пункта (а) для симплексного кода.
Так как симплексные коды определяются здесь с помощью ассоциированного ортогонального кода, то следует рассмотреть ассоциированный ортогональный код. Пусть срM(t) — нормированная функция, ортогональная к cpj(^), ..., срд,(^). Определим ym(t) = xm(t) + <pM(t). Тогда
2 №хт, п ^){2хт',п О п= 1
+ 1.
Указанное выше произведение равно —1 для (N + 1)/2 слагаемых и +1 для оставшихся слагаемых; следовательно, кодовые слова ym(t) ортогональны и имеют энергию М. Наконец, так как 2.vm(0 = 0, то срM(t) = 1 IM^ym(t) и, в смысле
т т
определения (8.2.28), кодовые слова xm(t) образуют симплексное множество.
8.16. Когда буква k поступает в модулятор, VSTq^l) передается, и выход *-го согласованного фильтра приемника равен
г , , WsTo + Zi, i = k,
'/;=['/ (t) фг (/) dt =
J { 2j, i ф k,
гдег0, ..., 2j^_|—независимые нормированные гауссовские случайные величины. Следовательно,
К — 1
Ру (Уо
ук_1 ] x = k)= П
1
V 2л
ехр
(yt- bih VST)2
= Pz (у) ехР [ УкЛ/ STo — ST0/2],
К-> !
где рг у)= П expi— i/t/2] — совместная плотность К нормирован-
/= 0 V 2л
ных независи.мых гауссовских случайных величин.
Имеем
Ей (J, Q) = — In j | 2 Q(k) I * = *) ) dy,
v U = o J
E0(1, Q) =
In
K-l J ______
Ъ TYPziy) exP
Ун V ST0
ST0
4
dy.
Производя возведение в квадрат суммы в скобках, получаем
Можно изменить порядок суммирования и интегрирования и проинтегри-ровать^слагаемое за слагаемым. Для i =э^= k можно непосредственно проинтегри* ровать сразу все слагаемые, получаем
j Pz (У) ехр
ykVSTo Уг Vst0 2 2
-и
2л
ехр
2
Ук
UhVsfo
2
yt
yt
_ STo 2
VSTo
dy =
_ STo 2
Г sr„
= exp|- —
dyh dyi =
Этот же интеграл для i = k равен 1. Следовательно,
Ml. Q) = ?o(i, Q) =
— In
sr0
Sr„/4+ A
Кг
In
Из теоремы кодирования вытекает, что существуют коды со скоростью Rx нат на символ и любой длиной блока N, для которых
Ре < ехр { — N [?0 (I> Q)-Ri]).
Обозначая через Т = NT0 — длительность блока, а через R = скорость в нат/с, эта граница приводится к виду
г*-т1‘-1к,п11+т('№',-1))!
Ri/T0 -
ехр
Когда К возрастает, выражение в фигурных скобках сходится к 1 и для R < < S/8 это выражение является показателем экспоненты для ортогонального кода (напомним, что мы положили N012 = 1, так что S/8 = С^/4). Для конечного К член в фигурных скобках может быть истолкован как эффективность г] метода дискретной модуляции данных в том смысле, что она определяет ту долю показателя экспоненты ортогонального кода при нулевой скорости, которая достигается при заданном значении К¦ Эффективость tj достигается при
eS7V4.
к=-
1
e(l-h) ST0/4 _J •
При ST0/4 CI это выражение] саодится к К~ 1/(1 —rj). При STй/4 » 1 имеем К ~ e1'sr°^4.
