Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
8.9. (а) Входная функция x(t) = 2 xna(t — пТ) является линейной ком-
п
бинацией ортогональных функций; одна функция на 2 мкс. Следовательно, из-(8.2.8) имеем
1 ( 4S \
С = —1п 1+— нат/мкс.
4 V Л'о /
Заметим, что интеграл от квадрата a(t) не имеет отношения к рассматриваемой здесь задаче.
(б) Заметим, что для Т = 1 мкс справедливо \a(t) a(t — Т) dt = 0. Следовательно, при Т = 1 мкс базисные функции ортогональны и получается та же самая ситуация, как и в пункте (а), за исключением удвоения числа степеней свободы. Следовательно,
1 ! 2 S
8. Ю.(а) Пусть
<Pi (О = У2IT sin (2nktiT), (Xt^T, ц>2ф = У2/Т cos (2nktjT), 0 <t<T.
При использовании этих ортонормальных функций возможные входы на интервале (О, Т) представляются в виде
*45 (t) =y~STT2 Ф1 (t) + УЩ2 ф2 (t),
«135 (t) = - Vst/2, фх (t) +ysm ф2 (t),
S-135 (t) = -YST/2 ф1 (t) - VST/2 ф2 (t),
S-45 (0 = УST/2 ф1 (t) - VSTi2 ф2 (t).
135
r~
I
I
ж
У 2 --
i/4
ST
S~I35
У \У Область -¦'{дег-эбиоова-
' [ HU Я
'Tfr1
7т,
т
(б) r(i) = ricpi(/) + г2<р2(/) + rx(t), где rt(t)— часть шума, ортогональная к фх (/) и ф2(/), и, следовательно, независимая от гх, г2 и от сообщения. Декодирование по максимуму правдоподобия заключается в нахождении (rlt г2) и декодировании ближайшего сообщения. Как видно из рисунка, это правило сводится к следующему:
при гх > 0, гг > 0 выбирается ф = 45°, при г2 < 0, Аг > 0 выбирается ф = 135°, при < 0, г2 < 0 выбирается ф= —135°, при /"i > 0, г2 < 0 выбирается Ф = —45°.
(в) Приведенное выше правило декодирования зависит только от решения, положительно или отрицательно гъ и решения, положительно или отрицательно г2. По условию каждые Т секунд вход представляется в виде a.'j УST!2<$1(t) + х2 УST/2 ф2(<), где хг и х2 равны + 1 или —1.
При декодировании возникает ошибка, если хх и гх противоположны по знаку или, если х2 и г2 противоположны по знаку. Эти события независимы и имеют вероятность
Рг foXM* < 0] =Рг [^г < 0 [ я* ;> 0] = Ф (— УSTlW0)-
Величину xi можно рассматривать как вход некоторого ДСК, а х2 — как вход .некоторого параллельного ДСК.
(г) Пропускная способность (в битах в секунду) параллельных ДСК равна
671
Вычисляя предел этого выражения при Т -* 0, получаем (см. задачу 4.22)
25
С = —— Iog2 е бит/с. я N0
Заметим, что точно так же, как и в задаче 8.7, построение решения на основе знаков гг и г2 соответствует отсутствию кодирования. Однако в системе с кодированием при использовании этого множества базисных функций величины принятых символов являются существенными для декодирования.
8.11. (а) Имеются L параллельных каналов. Если ограничить мощность в i-м канале значением S;, 1 < I < 1,то пропускная способность параллельного соединения (в предположении, что нет ограничений на полосу частот) равна
c(s*.....s,)=2^-
1=1 N0 (I)
Максимизируя это выражение при условии, что 2 S; < SL и условии, что S; >
I
> 0, 1 < I < L, видим, что Si должно равняться 0 для всех I, за исключением того /, которое минимизирует N0(l); в результате получаем
С =SL/min N0 (I), i
(б) Пусть (фг (0)—множество ортонормальных функций и пусть Sj(<) = = S2 (/)=... =SL (t) задаются разложением 2*гФг(0- Пусть функция, прини-
i
маемая на выходе /-го канала, равна 2 i/i I Фг(^)- Пусть yi = (yi,1, Уг,2...
I
yit д- ТогДа
L
Р СУ/ I Xt) = П ехр
/ = 1
. VяЛГ0(/)
L
п
yt, I
(yt, i—XiV
No(D~
Ч-Xiyi, г
+
2
XI
1= 1 ' yi, i
N0(l) N0 (I) No (I)
делает возможным вычисление
_VnNo(l)
Отсюда видно, что знание
I N0 (/)
Р (yi I xi)iP (Vi I xt) при любых заданных х; и Xi без знания отдельных значений (//,;. Следовательно, выходы канала могут быть умножены на весовые множители l/No(l) и сложены вместе без потери пропускной способности. После такого взвешивания имеем
х (0 Zl (t)
& N0(l) & Nod)
Мощность сигнала теперь равна S L 1
