Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
*//
2L(cos 2л/ /) г (/) dt k
k/f k/f
С 2/ С 2/
М \ -^-cos2 (2л//) dt = M \
о б
1 cos 4nft I
т+—Г"\dt=M
1Ф —— sin 4я? 4я6
-> М при k ->¦ то.
8.3. Сначала примем, что 3t{t,x) непрерывна. Тогда имеем
[г (/) — z (/ + е)]2 = г2 (/) —2z (t) z(/ + e) + z3 = t)—23l (t,t + e) +
+ / + e) 0 при 8-^0.
Далее примем, что lim [z (f) — г (/ + e)]2 = 0 для всех Тогда имеем ?->0
31 (i,%)-—?& (i + е,т) = [z (t) — z (t-|-e)] z (t) <
<([z(0-ztf + e)]») 1/2 (z"^j)i/2,
где в последней части было использовано неравенство. Шварца. Следовательно,
lim 31 (t + 8,т) = 3i (t, т) для всех т и t- Так как M(t,x)=3i(x, t), то это так-е—> 0
же показывает, что
lim 3i (t, х + s) = 3t(t, т) для всех t, т.
е->- о
Используя известные результаты математического анализа, находим, что это
эквивалентно тому, что 31 {t, т) непрерывна.
00
8.4. Пусть б > 0 произвольно. Так как ^ | X (/) | df < оо, то /х можно выб-
—00
рать достаточно большим, так чтобы
—ft °°
^ \X(f)\df+^\X(f)\df<№.
— ОО fj
Выберем теперь е > 0 достаточно малым, чтобы
|l_e-^?|<6/(2jji.Y(/)|d/ для всех | / | < fi- Тогда
I я (t)-x [t-г) | = [ ^ X (/) е'2л" [1 -е-/2я?Е] df j < (j | X (/) [ | 1 _е-'2я^ | df <
ft I X (/) | S
< \ 2 | X (/) | df +
I f |> /1 -i2\\X(f)\df
6 S
df < —- + — = S. 2 2
Следовательно, для любого 6 > 0 найдется Ех > О такое, что | x{t) — x{t—е)|<8 для всех е < еъ т. е. х (t) непрерывно по t.
8.5. y(t) — y(t + e)=§ [h(t—x)—fi(t + &—r)]z(x)dx.
Используя соотношение (1) решения задачи 8.1. (б), имеем
[y(t)—y(t+s)]2 <Mj [h{t—x)~h(t + a —x)]*dx = M $[h(t)-h(t + s)]2dt. (1)
667
Преобразование Фурье от w (е) = J Л (0 h (t + е) dt равно | Н (f) |а, гдеЯ (f) преобразование Фурье h(t). Так как h (t) из L2, то Н (f) также из L2 и f| H(f) | *df<co.
Следовательно, используя задачу 8.4, находим, что w (е) непрерывно по е:
J [ft (t) — h (t -f e) ]a dt = 2 J Л3 (/) d/—2 J Л (/) h (t + e) dt = 2 [ay (0) — w (e) ]->¦
-+ 0 при e -> 0.
Это показывает, что Пт[г/(0 — ?/ -f-e)]a=0. Отсюда, используя задачу 8.3,
е-<-0
находим, что Му непрерывна.
8.6. Пусть x[t) — интегрируемая в квадрате функция и y(t) — случайный процесс, такой, что y(t) при каждом t равномерно распределена между —1 и +1 и y(t) статистически не зависит от y(t) при всех других значениях t. Желательно рассмотреть случайную величину j x(t) y(t) dt, однако мы в затруднении, не зная, как понимать этот интеграл. Один из подходов интерпретировать этот интеграл в смысле Римана состоит в рассмотрении предела суммы
ОО
хА = 2 д* (‘д) У (‘д)
(¦=—оо
при Д, стремящемся к нулю. Для всех i, у (г'Д) — независимые случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями 113. Следовательно,
У. Да х2 (/Д) — о 3
Вместе с тем
[x2(t)dt=\im Д*2 (('Д) •
Следовательно, для очень малых Д
хК ~— {x2(t)dt, lim хд=0.
3 J д-*о
С интуитивной точки зрения процесс y(t) имеет конечную мощность, которая равномерно распределена по всей области частот от — сю до оо и, следовательно, имеет нулевую спектральную плотность на каждой частоте. Если z(t) — гауссовский процесс, то имеем
J л: (0 [z (t) + у (0J dt = { * (t) z(t)dt + $x(t)y (t) dt.
Так как J x(t) y(t) dt имеет нулевое среднее значение и нулевую дисперсию, то эта случайная величина равна нулю с вероятностью 1 и, следовательно,
J х (t) [г (t) + у (/)] dt = J х (t) г (t) dt—гауссовская случайная
величина для каждой интегрируемой в квадрате функции x(t).
Заметим, наконец, что y(t) имеет корреляционную функцию
Г 1/3, / =0,
1J w \ 0 , /=? 0.
Так как y(t) и z(t) независимы, то
Г1/3+^г(0), / = 0,
668
Из этой задачи видно, что не непрерывные корреляционные функции могут привести к весьма патологическим связям между временным описанием случайного процесса (т. е. описания z(t) как семейства случайных величин для произвольных множеств моментов времени) и описанием с помощью линейных функционалов (т. е. описания всех случайных величин вида J x(t) z(t) dt).
