Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Галлагер Р. -> "Теория информации и надежная связь" -> 299

Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.

Галлагер Р. Теория информации и надежная связь — М.: Советское радио, 1974. — 738 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyainformacii1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 293 294 295 296 297 298 < 299 > 300 301 302 303 304 305 .. 355 >> Следующая


lim Рг [(х y)$rw|m] = 0.

(2)

(в) Рг [(хт,, у)6Г.|т] =

= 2 №^(хт')ш^(У^)]>

<*т',У)еТ JV

(3)

так как при заданном m величина yN выбирается независимо от хт с распределением вероятности <aN (у) = 2 Qn (xm) Pn (У I *m)- Согласно определению

618
типичного множества TN имеем

п. Л

<е при (хт„ у)?Tn>

1 . МУ Кг') „

— In--------------------— С

N (Уы)

1 P/v(ylxm')

— In N\ ч—>c-e при (xm„ у)?Tn,

N ®n{Vn)

ам(Уы) <pn(V I x™) e~N(c~E) при (Xm,, у)?TN'

Подставляя эти выражения в (3) и строя границу сверху с помощью суммирования по всем хт>, у, получаем

Pr[(*„-.y)^ff|ra]<e-W-‘l. (4)

(г) 2 Рг[(Хщ. y)?TN\m] <

т'=т

<(Л1_ 1)е-тс-г) <e-N(C-R-E)=e-NS' (5)

Используя (5) и (2) совместно с (1), будем иметь

lim Р

N->-oo

Заметим, что сходимость не зависит от т и поэтому

1 vr-

hmPe=hm—ZiPe,m = 0.

N-rCQ Л' гп

С помощью того же самого доказательства, что и в следствии 2 на стр. 157, можно показать, что для любой R < С, любом 6> 0 и достаточно большом N существуют коды, для которых

Ре,т^& при всех т, 1 < т L ехр NR_\ .

5.19. (а) Заметим, что в ДСК PN (у|х) = ei<x' у*(1 — e)w~d(x' у), где d (х, у) равно числу позиций, в которых х и у отличаются друг от друга. Отсюда можно заметить, что при е < V2 декодирование по максимуму правдоподобия равносильно выбору такого т, которое минимизирует d(xm, у) (т. е. выбору ближайшего кодового слова). Вероятность того, что PjV (y|xm,) > PN (y|xm), равна вероятности того, что у совпадает с хт-, по крайней мере, во стольких же позициях, как с и хт, или, другими словами, вероятности того, что у отличается от хт, по крайней мере, в половине из d (хт, хт,) позиций, в которых хт и х1п, отличаются друг от друга. Следовательно, из (5.3.13) будем иметь

Рг \PN (У I хт’) > PN [(У I хт) | т] < [2 УГО^Т)}* (*т' Х'п'').

Для того чтобы произошла ошибка при передаче хт, значение PN(у | xm,) должно быть больше или равно значению PN{y \хт), по крайней мере, для одного т’ Ф т. Имеем

ре,т< 2 ехр {d(xm, xm,)ln[2"l/e(l— в)]}. т'Фт

(б) Так как 1п[ 2 "|/е (1—в)]<0, то Ре,т можно оценить сверху с помощью оценки снизу d(xm, хт,). Поэтому

Ре,т ^ (М~— 1) ехр {dmin 1п [2~У в (1 — б)3}> 1^/п^М* (1)

619
(в) Каждое новое кодовое слово вызывает устранение из списка не более

V (»\

2j \ i J слов- Поэтому, если после выбора М кодовых слов

d— 1 м 2

г = О

'•N

<2n,

то можно выбрать следующее кодовое слово. Таким образом, после окончания

процедуры М 2

г = о\ 1 >

(г) Из задачи 5.8 (г) при е = 1/2 имеем

d- 1

S (")2~A, = _ 2 1 )2-"<ехр^

I —In 2

i=N—d+1

Следовательно, число слов, которое выбирается с минимальным расстоянием dminI удовлетворяет границе

— 1

-N

ехр IN

' dr,

l~ 1

N

(2)

Пусть R < In 2 и пусть б<1/2 удовлетворяет равенству & (д) = 1п2—i?.

djYlin- 1 С" dmin

Выберем нужное значение dmjn так, чтобы'---------------<о<---------.

N N

(д)Из(2) следует, что можно выбрать код с минимальным расстоянием dmin и с 7И^>ехр {N [In 2—Ж (S)]} = eNR М — 1 кодовыми словами. Для такого кода неравенство (1) приводится к виду

Ре,т<ехр {-NE(R)}, R = \n 2—&6 (б),

Е (R) = —R-б In [2 Уе ( 1—е)] = - In 2 + Ж (б)-б In [2 >"е (1 — е)J.

При 6 = 0,01 получим следующее графическое изображение.

5.20. Пусть А(т^, т$....... mL) будет событием, состоящим в том, что

PN (У I хт) >PN(y\ хт) при всех I, 1< / < L. Для возникновения ошибки при

декодировании списком должно произойти событие А (т1.........т1) при некоторых

значениях ........mL. Следовательно,

Рг (ошибка при декодировании списком \т,хт, y)^Pr[lM(mi

mL)] < [2 Рг (Л (mi....wL))]p«, 0<р0<1. (1)

где объединение и сумма берутся по всем наборам L различных целых чисел, 620
не равных т. Так как хШ1, хт^ являются независимыми, то

L

Рг [Л (mx.... mL)] — Г1 рг [Pw (у | х,П/) ^>PN(y \ хт) | т, хт, у],

1 = \

Pr [Л^,..., mL)]< 'М-

PN(y\*)s

PN (У I хт)5

(2)

В силу того, что имеется ^ ^ J различных наборов по L целых чисел, молено

подставить (2) в (1) и получить (при 0<р<!1), Рг [ошибка при декодировании
Предыдущая << 1 .. 293 294 295 296 297 298 < 299 > 300 301 302 303 304 305 .. 355 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed