Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
У7/Ч t/ AF О /У м л /V у м I . Ч . . л / / л-- Ф ш
Следствием этого является то, что можно достичь много меньшей вероятности ошибки при заданной скорости и длине блока, когда стертые символы могут быть переданы вновь. Истинная скорость, с которой передаются данные, понижается до Rl( 1 — e~Na) из-за повторений передачи, но эта потеря в скорости 614
Р2 < (М— 1) e~rTN Q (k) 0) (/') ехр г In
Р2 < ехр —У? + (1 —s) Т— In Q(k)a(jyP(j\ k)i~s
Р2 < ехр [ — N (a +T—R)].
(б) Пусть ц (s) =1п 12 Q ( к) Р (у | к) ехр sin
.*./ L P(i\k)
С R
К задаче 5.14 (в).
К задаче 5.15 (а).
пренебрежимо мала при больших N, даже когда а довольно мало. В качестве еще одного практического следствия укажем на то, что все легко реализуемые методы декодирования при больших N имеют механизм обнаружения ошибок, т. е. они не могут найти никакого наиболее вероятного кодового слова, когда шум слишком велик.
5.15. (а) В ДСК ®(1)=гЫ, Q(0)=Q (1)=х/2 и
а=шах {— sR-\-s 1п2— In [(1—s)1_'s + 8w]j =
0<s<l
= max(—*^- + -^1п2-— In [(1-s)1'*1+р>+s1/( 1+ p)l1+р] =
р»о I 1+р 1+р 1+р I
= шах —— [ — рЯ + ?0(Р)]-
р>о 1+р
Производя максимизацию по р, получаем параметрические уравнения
a (R)=E0 (р) — р?о (р),
R = Eo (р) — [?0 (р)—Р^о (р)1 • (!)
Используя графический метод, проиллюстрированный на рис. 5.6.3, можно увидеть, что ординаты точек всех прямых линий, огибающая которых изображает Er (R), умножаются на 1/(1 + р) и огибающая полученных прямых линий изображает a (R). Более изящная интерпретация, основанная на (1), показывает, что a (R) = Er [?q (р)].
(б) a=maxj——-—R — In
PJ о i I+p
S<2(ft)K»(i)p/(I+p)P(/] ft)1/(1 + p) .i,k
(i)
Применим неравенство Гёльдера [см. задачу 4.15 (б)] к выражению в квадратных скобках. Получим
2 СО (/)р/< > + р>(! Q(k) Р (/1 *)1 / <1 + р>) < со (/) р/К1 + р) Х]]Х X
x[^(SQWP(/l*)1/(, + p))1/(,-w]1-*'=
- {2 (2 Q (к) р и 1 к)1 :1 + р> j1 + р)1 /(:1 + р), (2)
где X = р/(I + р), и затем замечено, что сумма в первом сомножителе равна 1.
Взяв логарифм от каждой части (2) и изменив знак, получаем
— In 2 со 0')р/( 1 + р) Q (к) Р (Л к)! /(1 + р) >
/.*
>у^Е о(р).
1
Подставляя это выражение в (1), получаем а >--------[—рУ?+?о(Р)Ь
• + Р
(в) 2 q (к) р а | к)1 /(1 +р)=2 q (к) р (л б)р/<1+р) х
k к
хР(/| ft)(1“p>/(i + p) < !2QWP(/|ft)|p/(1+p)x L k J
x |2 Q(ft) P (/| ft)1~pJ1/(1 + p),
где было использовано неравенство Гёльдера с А - р/(1 + р). Используя полученное неравенство, находим
s0 (р) =—in2 f2Q(*)P(/|A)1/(,+p)V+p>
/ I к !
GI5
>-1п2ш(/)р20(^(/1*)’‘-Р-; k
Поэтому
Er (R) =max [ — p/? + ?o (p)] > max ( — pR —
0<p^l 0<p<lI
-ln[^fi)(/-)pQ(ft)P(/|ft)l-p]j=o
5.16. (a) Как и в (5.6.5) имеем
Pe,m = E SQW(xm)^JV (У I Xm)Pr [ошибка I rn,xm, у]. (1)
xm y
Для заданных m, x , у пусть Лт, обозначает событие, состоящее в том, что хт. выбрано таким образом, что
Ят' PN (У I М Pr><?mPW (У1хт).
Имеем
Ят- PN (У I хт’)
p(V)<SQ,v(M уЛ|х7 • (2)
хт' . ИN (У I щ) .
Как и в (5.6.7), имеем
Рг [ошибка | т, хт,у ] < Г 2 р (Ап')]Р <
[т’ - tn \
(( 2 qsm')'LQN(*)PN(y\x)s)P'
j шут / х_____________ (
i <4 (У I xmV j
Подставляя это в (1) и производя преобразования, получаем
к, </,,fi; 2 cjpx
[пг -^т J
X 2 (2 Qn (xj pn (у 1 xj1 --sp) (2 Qw (X) PN (y [ x)s]P.
У \xm J \ x J
Положив s—1/(1 ~Ьр) и распространяя суммирование по т' на значение т, получим
pe=2?mPe,m<f2d/<1+p)V+px
tn V fn J
X2(2QW (x)P;V(y|x)1/«1 + p)}1+p (3)
(б) Если сообщение m соответствует последовательности источника u = L
= («l.... «х)> т0 Ят ~ П Л (г/г) П
