Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
К” АР’-*
Заметим, что при малых i первая из указанных выше границ точнее, чем вторая. Наконец, применяя результат задачи 5.8 (в) с е = 1/2, i < N/2, получим
м\ .. N /ЛМ
Ограничивая (М. — 1) сверху с помощью М — е > получаем искомый результат.
(г) Pe,m = 2Pr[<f(xm, у)==1]Рг[ошибка |d(xm, y) = t]. (1)
i
Возьмем б < V2 так, чтобы удовлетворялось равенство Ж (6)= In 2 — R. Предположим, что R < С, что эквивалентно е < б. Пусть j является целым числом, удовлетворяющим неравенствам
^-<б< —. (2) jV N W
Используя первую границу из (в) при i < j — 1 и вторую при i > /, получаем
ъ '7,1 ,N\ , .. Л' — i \ IN
Г Й
е,т
/ TV—i \
(д) Согласно (2) можно ограничить сверху выражение! —--------— ] впервой
1—6 , 1 сумме с помощью j _____Так как j/N > о > в, то можно оценить сверху
•торую сумму с помощью результатов задачи 5.8 (в); получим
1 —б ^ [N \2 J _чл/— / .—N Пп 2- R1 , ___/(!—е) х
11 (4)
х V °"Т
Рассмотрим теперь случай, когда
N )+ N 1П6+ N /ln(I“E)
< “j “• (5)
\ i_e I ^ 1_8
С помощью тех же самых рассуждений, что и в задаче 5.8 (в), при i < j — 1 получим
N \2 I N \ 2/ ;—1 \ 2 (j — I — /) f N \ 2/ б \2 (/-1-/)
/ N \ 2 / N у/ / — 1 \2 0'-1-<) / му/ б
I f j < I /-1) U-/+1) х 1 /-1'
(N \г
Применяя эту границу для 1.1, устремим затем нижний предел суммирования
i к — оо и, суммируя геометрическую прогрессию, получаем
( Г / /—* \ /—1 N — /+' 1)
^exp^2^^X_)+L_lne+-_J__In(1_e) I
(6)
exp {N [2Ж (6)+ 6 ln e + (1 — 6) In (1 —e)]}
(7)
Справедливость последнего неравенства может быть показана с похющью дифференцирования экспоненциальной части (6) по / и последующего использования (5) для того, чтобы показать, что производная является положительной. Если продифференцировать экспоненциальную и неэкспоненциальную части второй суммы в (4) по /, то можно заметить, что обе производные будут отрицательными и / можно заменить на bN. Подставляя этой (7) в (4), используя Ж (б) вместо [In 2 — /?] и объединяя слагаемые, получаем
Заметим, что в случае, когда имеет место (5), показатель экспоненты, приведенный выше, согласуется с показателем в (5.6.41). Далее рассмотрим случай, когда
В этом случае наибольшее слагаемое первой суммы в (4) может быть в любой точке интервала (0, / — 1). Результат может быть выражен очень просто, если вновь возвратиться к равенству (1). Будем иметь
Заметим, что это согласуется с (5.6.45).
Главное, что следует понять в этой задаче, состоит в том, что даже в очень простом случае ДСК вывод этих экспоненциальных границ для ошибки, использующий прямые комбинаторные методы, является довольно скучным и требует большого терпения. В то же время тщательное изучение этого примера может дать значительное понимание того, почему получаются результаты на этом пути.
5.10. В ДСтК с вероятностью стирания е имеем
Ре, т < Л ехр {—N[ — 3% (б)—б lne —(1 —6) In (1 — е) J} ,
где
А =
2nN (1 —6)
б
е
1-6
1 —е
С (М— 1) 2~n [/ е + У1 — e]w [/ е + /1 —e]w <
< ехр { — jV[—+ In 2— 21п (~l/ е + >А1 — е)]}.
(8)
Ео (Р, Q) ¦= — In [в + (1 — е) [Q(0)<1 + P>+Q(1)(1 + P)]}-
20*
611
Максимальное значение по Q достигается при Q (0) = Vs. давая
max?'0(p, Q) = — In [е + 2—р (1 — в)].
Q
(1 — е) 1 п 2
При -----_— < R < (1 — е) In 2 имеем параметрические уравнения (см. (5.6.31))
1 + в
Я =
?,(Я) = _1п[в + 2-р(1-в)]
2~Р (1 — е) In 2 е -f- 2 р (I — е)
р2~~р (1 —в) In 2
в + 2 р (I — в)
г, г, (* — в) 1 п 2
При R <-----------—--------- имеем Er (R) — 1п2— ln(l + e)—R.
I -J-e
Пусть б*
---------; р In 2 = In (
I — рЛ V
1 —в 6
е + 2“р(1— в)’ ‘ V 6 1—S/
В обозначениях б параметрические уравнения примут вид
Я = (1_б) In 2, Er-(R)=T.(6)— Я (б) [см. (5.6.44)].
5.11. (а) В силу симметрии канала ясно, что Е0 (р, Q) достигает максимума при Q (k) = V5> 0 < k < 4. Поэтому
max Е0 (р, Q) = Р In (6/г),
Q
(R) =1п (5/г) — R'i R< ln(6/2)-
