Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Граница имеет вид Ре< т < 10_25, т = 1, 2.
(в) Из (5.3.14) для четного N имеем
tN—l
( N \ ( N\i N-i \
Используя I j ] = I . 1 I ——j- j , получаем
(«2)1'(,-'И"/2{1 + (^!+т)Х
Ре. 1=1
е
Заметим, что при очень большом/^выражения в фигурных скобках, содержащие N в отношениях в слагаемых, становятся приближенно равными 1, в то время
6 — 0.
1 — 8,
Таким образом,
1 1—S
Выражение в фигурных скобках равно -----------------= -—— .
1 — е/( 1 — е> 1— 2е
С помощью (1) теперь получим
-*1
Для Ре 2 имеем ту же самую сумму, за исключением того, что суммирование начинается с i — + 1 вместо ~. Поэтому для Ре_ 2 равенства (2) и (3)
нужно модифицировать, выбросив первое слагаемое из суммы в фигурных скобках. Это равносильно умножению каждого слагаемого на ^—-—j, так что Ре> 2
= —-— Ре j. Если N нечетно, то получаем
( N N)e(W+l)/2(1_e)(W-D/2(1 +
[(N + l)/2 ) V ' 1
603
+
(N—1)/2
+
(N— 1) (N—3)
(N + 3)12 1 — e (N + 3)(N + 5)
С помощью того же приближения, что и раньше, получим
+
[е(1 —е)]ЛГ/2
1 —
1 —8
(г) В Z-канале при хх = (О, О, граница (5.3.1) приобретает вид
О, 1,
1) и х., -- (1, 1, 0............0)
: min {
0<s^ 1
,(1- s) N(2
S-V72} =
pA'/2
Отметим, что декодер всегда производит правильное декодирование, если принята какая-нибудь единица, так как принятая в какой-либо момент единица означает, что единица была передана в тот же самый момент. Если были приняты все нули, то декодер декодирует сообщение 2 (по предположению) так, что Ре, 1 = ew/2, Ре, 2=0. Это заметное изменение в вероятности ошибки, возникающее из-за такого невинного изменения в кодовых словах, является довольно удивительным и оказывается очень важным явлением при отыскании нижних границ вероятности ошибки.
5.3. (а) (I) Ре, т < {[Q (0) УТ=7 + Q (1) VI]2 +
+ [Q (1) + Q (0) УГ]2}^.
Подставляя 1 — Q (0) вместо Q (1) и минимизируя выражение, стоящее в фигурных скобках по 0(0), находим, что минимум достигается при Q (0) = = /г, что следовало ожидать в силу симметрии. При Q (0) = 1/2 имеем
<
1
П/l—е+Уе“]2| = ~ + Уе( 1 —e)j .
(II) Pe.m < {(1 -e)[Q2(0)+Q2(1)]+е)N.
Минимум по Q достигается при Q (0) = 1/2, что дает
1 + е
. 2 J
(III) Pe,m <{[Q(0) + yTQ(l)]2+(l-6)Q2(l)r-
Минимум по Q достигается при Q (0) = 1/2. Это довольно удивительно, но в задаче 5.13 будет показано, что этот минимум всегда достигается при Q (0) = 1/2 для любых каналов, двоичных по входу. При Q (0) = 1/2 имеем
Ре.т < {у(1 + /Г)2+ Y(1-8)}W = {у (l + Ve')JW.
(IV) Рв,т <{[Q(0)Vl-El~e2 + Q0)V^]2 +
+ + [Q (1)1/1 —Sj—e2 + Q (0)l/e2]2}w.
Минимум достигается при Q (0) = 1/2, что дает
1
+ ~V 8г)2 + 811 —
(Уь
= {(1 +8^/2 + Уе2 (1 —е±— e2)},v.
604
(б) Для выборочного кода из ансамбля можно использовать (5.3.8) и (5.3.7) и получить, что
1 1 I—I 1 v
— In Ре,т < — In 11 gn (s) = — 2^ 1п gn (S) =
n= 1 n=1
Так как xt,n и х2|П при каждом п являются независимыми случайными величинами, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, то можно усреднить (1) по ансамблю и получить
1 1 1 I [
-yinре,т< 2 2т1пЕР(/|*)1-*Р(/|1Г й = 0 ( = 0 I /
Замечая, что при k = i выражение в фигурных скобках равно 1, получим
¦у ЫР^<-J- ln2Р UIО)1-^рш I)4'+
+ -j-inl'^pa\i)1-sP(i\oy\.
I / I
Правая часть достигает минимума при s — 1/2, давая наиболее точную границу такого вида. Имеем
m2 Vpu\o)pU\V- (2)
Таким образом, для четырех указанных каналов правая часть (2) равна
(I) —In [4e(l-S)], (III) ~ In 8,
4 4
(II) -у1"6’ (Il/) "2" 1П I2 V(l-ei-s2)^+ ej.
Согласно закону больших чисел, правая часть (1) (при s =¦ 1/2) при больших N близка к (2) почти для всех кодов из ансамбля, так что для большинства кодов из ансамбля
Рв, т < МР { N • -J- In 2 KP(7i0jPO|T)