Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Галлагер Р. -> "Теория информации и надежная связь" -> 292

Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.

Галлагер Р. Теория информации и надежная связь — М.: Советское радио, 1974. — 738 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyainformacii1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 286 287 288 289 290 291 < 292 > 293 294 295 296 297 298 .. 355 >> Следующая


Граница имеет вид Ре< т < 10_25, т = 1, 2.

(в) Из (5.3.14) для четного N имеем

tN—l

( N \ ( N\i N-i \

Используя I j ] = I . 1 I ——j- j , получаем

(«2)1'(,-'И"/2{1 + (^!+т)Х

Ре. 1=1

е

Заметим, что при очень большом/^выражения в фигурных скобках, содержащие N в отношениях в слагаемых, становятся приближенно равными 1, в то время

6 — 0.

1 — 8,

Таким образом,

1 1—S

Выражение в фигурных скобках равно -----------------= -—— .

1 — е/( 1 — е> 1— 2е

С помощью (1) теперь получим

-*1

Для Ре 2 имеем ту же самую сумму, за исключением того, что суммирование начинается с i — + 1 вместо ~. Поэтому для Ре_ 2 равенства (2) и (3)

нужно модифицировать, выбросив первое слагаемое из суммы в фигурных скобках. Это равносильно умножению каждого слагаемого на ^—-—j, так что Ре> 2

= —-— Ре j. Если N нечетно, то получаем

( N N)e(W+l)/2(1_e)(W-D/2(1 +

[(N + l)/2 ) V ' 1

603
+

(N—1)/2

+

(N— 1) (N—3)

(N + 3)12 1 — e (N + 3)(N + 5)

С помощью того же приближения, что и раньше, получим

+

[е(1 —е)]ЛГ/2

1 —

1 —8

(г) В Z-канале при хх = (О, О, граница (5.3.1) приобретает вид

О, 1,

1) и х., -- (1, 1, 0............0)

: min {

0<s^ 1

,(1- s) N(2

S-V72} =

pA'/2

Отметим, что декодер всегда производит правильное декодирование, если принята какая-нибудь единица, так как принятая в какой-либо момент единица означает, что единица была передана в тот же самый момент. Если были приняты все нули, то декодер декодирует сообщение 2 (по предположению) так, что Ре, 1 = ew/2, Ре, 2=0. Это заметное изменение в вероятности ошибки, возникающее из-за такого невинного изменения в кодовых словах, является довольно удивительным и оказывается очень важным явлением при отыскании нижних границ вероятности ошибки.

5.3. (а) (I) Ре, т < {[Q (0) УТ=7 + Q (1) VI]2 +

+ [Q (1) + Q (0) УГ]2}^.

Подставляя 1 — Q (0) вместо Q (1) и минимизируя выражение, стоящее в фигурных скобках по 0(0), находим, что минимум достигается при Q (0) = = /г, что следовало ожидать в силу симметрии. При Q (0) = 1/2 имеем

<

1

П/l—е+Уе“]2| = ~ + Уе( 1 —e)j .

(II) Pe.m < {(1 -e)[Q2(0)+Q2(1)]+е)N.

Минимум по Q достигается при Q (0) = 1/2, что дает

1 + е

. 2 J

(III) Pe,m <{[Q(0) + yTQ(l)]2+(l-6)Q2(l)r-

Минимум по Q достигается при Q (0) = 1/2. Это довольно удивительно, но в задаче 5.13 будет показано, что этот минимум всегда достигается при Q (0) = 1/2 для любых каналов, двоичных по входу. При Q (0) = 1/2 имеем

Ре.т < {у(1 + /Г)2+ Y(1-8)}W = {у (l + Ve')JW.

(IV) Рв,т <{[Q(0)Vl-El~e2 + Q0)V^]2 +

+ + [Q (1)1/1 —Sj—e2 + Q (0)l/e2]2}w.

Минимум достигается при Q (0) = 1/2, что дает

1

+ ~V 8г)2 + 811 —

(Уь

= {(1 +8^/2 + Уе2 (1 —е±— e2)},v.

604
(б) Для выборочного кода из ансамбля можно использовать (5.3.8) и (5.3.7) и получить, что

1 1 I—I 1 v

— In Ре,т < — In 11 gn (s) = — 2^ 1п gn (S) =

n= 1 n=1

Так как xt,n и х2|П при каждом п являются независимыми случайными величинами, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, то можно усреднить (1) по ансамблю и получить

1 1 1 I [

-yinре,т< 2 2т1пЕР(/|*)1-*Р(/|1Г й = 0 ( = 0 I /

Замечая, что при k = i выражение в фигурных скобках равно 1, получим

¦у ЫР^<-J- ln2Р UIО)1-^рш I)4'+

+ -j-inl'^pa\i)1-sP(i\oy\.

I / I

Правая часть достигает минимума при s — 1/2, давая наиболее точную границу такого вида. Имеем

m2 Vpu\o)pU\V- (2)

Таким образом, для четырех указанных каналов правая часть (2) равна

(I) —In [4e(l-S)], (III) ~ In 8,

4 4

(II) -у1"6’ (Il/) "2" 1П I2 V(l-ei-s2)^+ ej.

Согласно закону больших чисел, правая часть (1) (при s =¦ 1/2) при больших N близка к (2) почти для всех кодов из ансамбля, так что для большинства кодов из ансамбля

Рв, т < МР { N • -J- In 2 KP(7i0jPO|T)
Предыдущая << 1 .. 286 287 288 289 290 291 < 292 > 293 294 295 296 297 298 .. 355 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed