Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
всех компонент, за исключением первых L, равен у- ^ V Следова-
l=L+1
тельно, если положить и = (иъ ..., uL), \т — (vm< ь ..., vm< L) и
L
А (“; vj= Ц (иг — vm< if, i = l
то среднее искажение в единицу времени для какого-либо кода из ансамбля можно представить следующим образом:
1
Г
(9.7.49)
D1(u;v(u))+ У 7Н
/ ~ L + 1
где v (и) — кодовое слово, в которое отображается и. Далее определим R и d равенствами
Л = Яг№) + в/2, (9.7.50)
d = — У—+ —¦ (9.7.51)
Т ^ 2р 2 /= 1 г
Пусть Рс (D1 > Td) — вероятность в ансамбле кодов и функций, порождаемых источником того, что Dx [u; v (и)] > Td.
501
Как и в лемме 9.3.1,
Рс (Dx >Td)^Pt (Л) + ехр (— М' е_ ™), (9.7.52)
где
А = ju, v : / (u; v)>T R или Dj(u;v)>Td} (9.7.53)
и Pt (Л) — вероятность события А в ансамбле тест-канала. Далее оценим сначала сверху правую часть (9.7.52) и используем эту границу для получения верхней границы для Dx [u; v (и)].
Так как для тест-канала I (U; V) = TRT (df) и
1 = 1 r
то Pt (Л) можно оценить сверху выражениями
Л(Л)<Рг[/(„; v) > 7 (U; V) + (fi/2)T] +
-f Рг \Pi (u; v)> Dj (u; v)+(fi/2)T]. (9.7.54)
Из неравенства Чебышева следует, что
1\ (Л) < 40[/ (и^- + —v)]- . (9.7.55)
б3 7"2 б3 Г2
Так как пары ии vt независимы в ансамбле тест-канала, то
L
D [/ (u; v)] = 2 D [l(uf, рг)]. (9.7.56)
/= 1
Вспоминая, что vt и нг — vL — независимые гауссовские случайные величины с дисперсиями — 1/(2р) и 1/(2р) соответственно, получаем
[{и. = A ]n{2p%l)--p(ul~vlf + ^, (9.7.57)
9l vll) 2Ki
D [/ [u{, ot)] = 1 L_ < 1, (9.7.58)
2\ip
D[/(u; v)]<L. (9.7.59)
Аналогично
D fDi (u; v)]= 2 D[(«, — u,)2] =
I = 1
(2p)2 ~ Up* ’ (9.7.60)
где использовано то обстоятельство, что мг — Vi — гауссовская случайная величина с дисперсией 1/(2р). Подставляя эти выражения
в (9.7.55), находим
Pt (Л) < 4-1 [1бу7!-/'2— ¦ (9.7.61)
602
На основании (9.7.46), (9.7.44) и (9.7.50) получаем М' ^ ехр Т [Я + 6/4] — 2. Подставляя (9.7.61) и (9.7.62) в (9.7.52), выводим
PciD^Td):
¦ 4L [1 + 1/(2р2)] g2 Т2
ехр (-
Г 6/4
2).
(9.7.62)
(9.7.63)
Теперь рассмотрим некоторый код из ансамбля, для которого (9.7.63) удовлетворяется, и положим
В = ju: Dx [и; v (и)] > Td).
(9.7.64)
Добавим теперь к уже выбранным М' кодовым словам добавочное кодовое слово v0 (t) = 0 и заметим, что М = М' + 1 кодовых слов удовлетворяют условиям теоремы. Если и ? В, то отобразим и в v0 (t), в противном случае отобразим и в ближайшее кодовое слово. Для этого нового кода имеем
L
ZMujvOi)]^Td + P(B) (9.7.65)
i = l
где d[iB — среднее искажение, или среднее значение м?, при условии, что и ? В. Как и в теореме 9.6.2, di, в можно оценить сверху, предполагая, что все большие значения м2г относятся к последовательностям и из В. Так как дг (ui) = (—мг), то это приводит к
Р (Б) di, в < 2 § и! qt (ut) dut,
/
ui
где и'i определяется равенством
со
Р(В) = 2 5 qt(ui)dui.
г
ui
Используя неравенство Шварца для (9.7.66), получаем P(B)ditB< 1/ 2 ] uf ql(ul)dul
(9.7.66)
(9.7.67)
у [¦ !•
/
^ uf qt (ui) dUi
P(B) =\YZP(B). (9.7.68)
Подставляя (9.7.68) в (9.7.65) и строя границу сверху с помощью суммирования по всем I, находим
(9.7.69)
503
