Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Т-+00 I i
Доказательство. Так как F(f) ограничена, то можно найти достаточно большое число А, такое, что
432
F(f) < А для всех /.
(8.5.36)
Умножая (8.5.32) на фг(тх) и интегрируя обе части по ть получаем
Иг (т) = $ § Фг (Ti) Фг (т2) Я (тх—т2) dxL dx2 --
= $|Ф,(/) \*F(f)df<Al\0i{f)\*df = A.
Следовательно, при всех Т все собственные значения меньше, чем А, Теперь пусть е — произвольно малое положительное число. Поскольку F(f) интегрируема, то Д можно выбрать достаточно большим так, что
$ F(f)df<e.
If I >h
Пусть aQ — положительное число, а0 ^ е//^. Тогда
^ F(f)df^ $ F{f)df+ $ F(f)df^2fiao + e^3e.
f-F(f)<ao 1-HiXa о i:\f\>fi
\fl< ii
(8.5.37)
Теперь пусть аг < ... < an — множество чисел, для которого аг >
> а0, ап = А и aj — а,-_г ^ ш0А8; 1 ^ ^ п. Кроме того, пусть эти числа таковы, что множество /, для которых F(f) = dj, 0 ^ ^ п, имеет меру нуль. Для любого Т > 0 имеем
2 g (aj~i) Nr QjX I] 2 5 [Иг C01 <
/=1 /=1 (T)<a.
< 2 g(aj) NTiaj.^aj), (8.5.38)
/=i
где NT(aj_lt dj) ¦— число целых i, для которых ajИг(^) < aj• Заметим, что центральная часть выражения (8.5.38) равна как раз ГДе сумма берется по тем i, для которых а0 ^ Иг(Л- Разделив все члены (8.5.38) на Т, переходя к пределу при Т -> оо и используя (8.5.34), получим
2tg(a;-i) $ <*/]< lim 4- 2 glM'OK
/“=> ju:. , / ./¦• :j J !i; (0
^2[^Ы S #]• (8.5.39)
/=1 !:a._1<iF(f)<aj
Заметим, что внешние части (8.5.39) также ограничивают J g[F(f)]df, где интеграл берется по множеству /, для которого а0 ^ F(f). Следовательно, разность внешних частей ограничивает разность между центральной частью в (8.5.39) и этим интегралом. Таким образом,
I lim ~ 2 ?[ИгС01— § g[F(f)\df |<
Т-*°° Т а0<цг(П f:a„^FU)
433
Далее рассмотрим значения г, для которых ц;(Т) < а0. Заметим, что поскольку величины а0 и А в (8.5.40) были выбраны независимо от функции g, то (8.5.40) также справедливо для частного случая g(x) = = х, поэтому
IHrn-^ S ц,(Т)~ $ F(f)dfj^e$F(f)df. (8.5.41)
T-*°c Т а0<Ц;(Л ha^Fd)
Теперь пусть Ki(t) = § Y^if) e12nttdf. Из (8.4.24) следует, что для любого Т
Т / 2 ~ оо “ оо
2(Т) = j S К\ (/-X) dt dx = T 1к\ (/) dt — T^F(/) df, (8.5.42)
i —7/2 —ос _ —со
где в соотношении (8.5.42) использовано равенство Парсеваля для преобразований Фурье (8.1.23). Подставляя (8.5.42) в (8.5.41), получаем
lira —
Т-*°о T ц;(7-)<ао /:F(f)<a0
Тогда из (8.5.37) имеем
lim 4- 2 МЛ<е$^М/ + 3е.
Г-хх. Т цг(7-)<а0 ^
Так как g [[i{ (Т)] ^ В\кг (Т), то
Нт ~ 2 g [Ич (Т)] < Be
Т -*¦ сю 1 ц.(Т)<ас
Аналогично
S S lF (/)! df < &в-
l-.FUXav
(8.5.44)
(8.5.45)
(8.5.46)
Сочетая (8,5.45) и (8.5.46) с (8.5.40), получаем 00
I lim 4 2* НМЛ!- S g[F(f)]df\<B[(B+l)^F(f)df + m. (8.5.47)
'Г-юо 1 i _ао
Так как е >¦ 0 произвольно, то этим завершается доказательство.
Цель следующих трех лемм показать, что при стремлении Т и Т0 к оо, результат (8.5,34) применим также к собственным значениям фильтра K0(t, х).
434
Лемма 8. 5. 4. Пусть Т и Т0 — любые заданные положительные числа и пусть {цг} — множество собственных чисел для K(t,x) и {Хг-}—множество собственных чисел для Ko(t,x), упорядоченных, как указано в теореме 8.4.1. Тогда для всех i ^ 1
K<Pt- (8-5.48)
Доказательство. Первые i входных собственных функций fti(x), ..., Фг(т), связанных с /С0(^, т), линейно независимы и, следовательно, все они не могут быть линейными комбинациями первых i — 1 собственных функций h (т), ..., (т), связанных с K(t, х). Поэтому
можно выбрать функцию
*(х) = i] Xj &j{x), (8.5.49)
/=i
которая является линейной комбинацией ^ (х), ..., д,(т) и ортогональна к ?х(т), •••, li-i (т)- Тогдах(х) может быть также представлена с помощью множества функций (Нг(т)} в виде
со
*00 = 2^-Мт); уг=
/=/
Функцию х(т) можно нормировать к единичной энергии, так что
