Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Галлагер Р. -> "Теория информации и надежная связь" -> 204

Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.

Галлагер Р. Теория информации и надежная связь — М.: Советское радио, 1974. — 738 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyainformacii1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 198 199 200 201 202 203 < 204 > 205 206 207 208 209 210 .. 355 >> Следующая


Как отмечено выше, v(t) не вполне определена, так как содержит белый гауссов шум, однако в соответствии с определением белого гауссового шума коэффициенты vt = x^Xi + «г четко определены и случайные величины tii — независимые нормированные гауссовские случайные величины. Остаточный член nr(t) в (8.5.19) представляет собой компоненту шума, ортогональную ко всем функциям 0г(О- Точнее, J nr(t)Qi(t)dt = 0 для всех i. Точно так же для любой функции г|з(0 с единичной энергией, ортогональной к 0,(0 при всех i, величина J nr(t) ty{f)dt является нормированной гауссовской случайной величиной, не зависимой от всех xt и я;. Если образовать множество ортонормальных функций (%(0), каждая из которых ортонормирована с функциями множества {0ДОЬ то канал может быть представлен как бесконечное множество параллельных каналов, соединенных последовательно с фильтром g(t, т) (рис. 8.5.6). В последующем изложении 428

ОО

ОО

K2{t,x)dt, для всех т, (8.5.15)

-Г/2

— ОО

*(т)=2*гФг(т) + *Лт)>

(8.5.17)

(8.5.18)

i

v (t) = 2 k Y К + ni\ ег M+nr (*)•

(8.5.19)
будет показано, что коэффициенты vlt v2, ... могут быть определены по выходу канала y(t).

Теперь предположим, что функция v(t) известна приемнику (т. е. известны последовательность {vt] и последовательность {w})). Для любой вероятностной меры, заданной на х(х), средняя взаимная информация между х(х) и v(t) равна, очевидно, средней взаимной информации между последовательностью {х^ и последовательностью {и;} (так как последовательность {wt} на рис. 8.5.6 не зависит от пары {х}} и Аналогично для любого множества кодовых слов деко-

дирование по максимуму правдоподобия и декодирование по максимуму апостериорной вероятности зависит только от последователь-

Рис. 8.5.6. Эквивалентное представление Рис. 8.5.7. Окончательное представле-рис. 8.5.1. ние рис. 8.5.1.

ности j Vi). Следовательно, только последовательность {и;} является существенной в сигнале v(t). Покажем теперь, что последовательность \vt} может быть определена по окончательному выходу канала y(t). Так как y(t) определяется по v(t), то отсюда следует, что дополнительные шумы {Wj} можно не рассматривать (это и так почти очевидно) и канал можно представить в виде, изображенном на рис. 8.5.7. На рис. 8.5.7 аддитивный шум помещен слева от умножителя, для того чтобы сделать окончательное представление эквивалентным модели параллельного канала из § 7.5. Шум в t-м канале является теперь гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией 1 /Xt.

Лемма 8. 5. 1. Определенная выше последовательность случайных величин {иг} может быть однозначно найдена по выходу канала y(t).

Доказательство. Если шум белый, то y(t) = yrN0/2v(t) и доказательство тривиально. Для небелого шума величины vt определяются через выходные собственные функции фильтра Ko(t, х) с помощью равенства

Из (8.5.11) следует, что выход фильтра К$, т) при любом входе является линейной комбинацией входных собственных функций фг, ^ (О

423

: j

(8.5.20)
фильтра g(t, т). Следовательно, для каждого i функция et(t) является линейной комбинацией функций множества (ф/,в (t)} и может быть представлена в виде

0,(/)= 2 auqh g(ty, at) = [Qi(f)<fJtg(t)dt. (8.5.21)

/= i

(Следует отметить, что в общем случае это разложение не может быть получено для выходных собственных функций фильтра K(t, т) и фактически это вызвало введение фильтра Ko(t, т).) Подставляя (8.5.21) в (8.5.20), изменяя порядок суммирования и интегрирования для произвольного числа т слагаемых, получаем

т оо

Vi= 2 oSjAti (t)<fj'g(t)dt+ \v(t) 2 «и У 3,g(t)dt. (8.5.22)

/= 1 i=m+ 1

В терминах выходных собственных функций ®j,g(t) фильтра g(t, х) имеем

J У V)Qj, g(f)dt = \r (t) g (t)dt + ^z(0 0,, g(t) dt. (8.5.23)

Однако

J r (t) Qj, g (t) dt = ^ u0 (t) g (t, t) Qjtg (t) dx dt =-

= Vh, g \uo(t)q>j,g(t)dx. (8.5.24)

Из (8.4.42) имеем

^ z (t) 0^ g (t) dt — Zjt g = YXjig ^ ti (т) Ф/,^ (i>) dx. (8.5.25)

Сочетая (8.5.24) и (8.5.25), имеем

\ У (0 fy, g (0 dt =V g ^ (т) ф;-, g (t) dx. (8.5.26)

Подставляя это выражение в (8.5.22), получаем

v‘ = 2 f у w®dt+ fy w 2 a» «wdL (8-5-27)

/=1 Vbj.g J J jJ^+l

Покажем теперь, что остаточный член в (8.5.27) стремится к нулю при т -у оо. Имеем

00 л 00

С v {t) 2 <*и Фа 8 (0 dt = § «о (0 2 Щ] ф;, в (0 dt+
Предыдущая << 1 .. 198 199 200 201 202 203 < 204 > 205 206 207 208 209 210 .. 355 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed