Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
белыи. ш.ум" со спектральной плотностью i
1 ХМ ! Э Hlff) “г*чт> - VNff) ¦
т JL \/Nin fff(t)
y(t) i-i--------1
A
2
2
Рис. 8.5.3. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.
няющиеся во времени фильтры, которые автоматически ограничивают вход интервалом (—Т/2, Т/2) и выход интервалом (—Т0/2, Т0/2). Таким образом, определим
11 К Го/2, 11\ >Г0/2.
(8 5.6) (8.5.7)
R [t, т) = -
I О
Этот канал изображен на рис. 8.5.4, однако ограничения на длительность входа и на интервал наблюдения опущены, так как эти операции выполняются в канале.
n(t)
xft)
К fi,t)
u(t)
y(t)=rft)+zft)
Рис. 8.5.4. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.
Пусть Ej(t), т)г(/) и Hi, 1 i <С оо, соответственно собственные функции на входе, собственные функции на выходе и собственные значения фильтра K(t, т) в смысле теоремы 8.4.1. Тогда х(т) и u(t) можно
представить равенствами
х('г) = 2*г1г(т)> (8.5.8)
i
u(t)^-'2iXiV\.iiy]i(t). (8.5.9)
i
Если можно было бы забыть о фильтре g(t, т) на рис. 8.5.4, то тогда белый шум можно было бы представлять через ортонормальные функции г|г(/) и для каждого i приемник мог бы вычислять х(У~\17 + nit где rii — независимые нормированные гауссовские случайные величины.
К сожалению, приемник не может даже в принципе вычислить эти величины. Трудность состоит в том, что выход фильтра g(t, т) не
426
определяет однозначно вход фильтра. Другими словами, в общем случае существует ненулевой вход фильтра g(t, т), для которого выход равен нулю. Аналитически, пусть фг> g (г), 0г> g (t) и Я,г_ g для 1 ^ i <; оо соответственно входные и выходные собственные функции и собственные значения g(t, г). Тогда из (8.4.15) следует, что вход фильтра g(i, т) приводит к нулевому выходу тогда и только тогда, когда вход ортогонален к Фг, ^ (тг) при всех i, 1 ^ i <С оо.
Теперь предположим, что u(t) (сигнал на входе фильтра g(t, т)) разделен на две компоненты: одна — линейная комбинация ф; г(т) и другая — ортогональная ко всем ф; g (т). Если фильтр K(t, т) изменить так, чтобы он подавил компоненту, ортогональную ко всем ч>г,я(т), то это не изменит сигнал на выходе g(t, т). Вместе с тем ниже будет показано, что, когда K(t, т) изменяется таким образом, фильтр g(t, т) не разрушает информацию о х(х).
Для того чтобы точно описать, как следует изменить фильтр K(t, т), заметим, что выход фильтра K(t, т) задается равенством
u(i) — | x(x)K(t, x)dx. (8.5.10)
Требуется заменить фильтр K(t, т) на новый фильтр Ko(t, т) с выходом
оо
Ыо(0 = 2ф«,*(0 J (8.5.11)
— со
Подставляя (8.5.10) в (8.5.11) и изменяя порядок интегрирования, получаем
и0 (0 = § * М [S Фг, g (0 IК <Л> т) Фг, g (*i) dtddx• (8-5-12)
Следовательно, модифицированный фильтр должен иметь отклик
Ko(t, = т)фltg{t-ddtx. (8.5.13)
Теперь можно заменить фильтр K(t, т) на рис. 8.5.4 на фильтр
Ko(t, т), что показано на рис. 8.5.5. Таким образом, u0(t) на рис. 8.5.5
ntt),
x(t)
к°<^}
г/ft/-Pit/ ¦ z/z)
Рис. 8.5.5. Эквивалентное представление рис. 8.5.1.
отличается от u(t) на рис. 8.5.4 только членом, ортогональным ко всем собственным функциям ф;, g, и, следовательно, отклик r(t), изображенный на рис. 8.5.5, в точности равен отклику на рис. 8.5.4. В частном случае, когда N(f) = N0/2, действие g(i, т) ’сводится к тому, что вход умножается на NJ2 при |f| ^ TJ2, и K0(t, т) определяется анало-
427
гично с помощью равенства
(8.5.14)
Далее покажем, что Ko{U т) интегрируема в квадрате, что позволяет использовать разложения §8.4. Заметим, что для Ко, задаваемого
(8.5.13), и для любого данного т функция Ko{t, т) является разложением K(t, т) по функциям ф-г g (t). Следовательно, по неравенству Бесселя
Для K0(t, т), задаваемого (8.5.14), интегрируемость в квадрате Ко непосредственно следует из интегрируемости в квадрате Kit, т).
Теперь пусть ф*(т), 0г(?) и Хг (для 1 i<oo) — соответственно входные и выходные собственные функции и собственные значения фильтра K(t, т) в смысле теоремы 8.4.1. Как было указано выше, нам не нужно заниматься нахождением собственных функций, а нужно лишь исследовать их предельное поведение при Т оо. Таким образом, сложное выражение (8.5.13) для Ко в действительности не представляет особого интереса. Функции х(т), u0(t) и v(t) = u0(t) + n(t) можно разложить в виде