Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
где
¦#(*1, Т2) = Р1^2 —Т^; lTil^T/2’ \х2\<Т/2,
\ 0 ; во Есех других точках,
¦^i(T2 — Ti) = {t — Ti)^i(^ •— r2)dt. (8.4.61)
Взяв преобразование Фурье от обеих частей (8.4.61), найдем, что преобразованием Фурье от Mi является функция | H.-SJ) |2, которая численно равна #!(/). Следовательно,
| sm2n(T1-r2)W [т |<7/21 |т2[<Г/2,
^(т1(т2)= Я(тх-т2) 1 11 1 21 ^ (8.4.62)
( 0 ; во всех других точках.
Входные собственные функции ф;(т) [которые ограничены интервалом (—Т/2, Т/2)] связаны с выходными собственными функциями 0г(О соотношениями
е«
= ‘Pi (T)dT« (8.4.63)
.{vHM
^ IV, I *(t—*mt)dt; \*\<T/2,
Ф, (т) = Vm J (8.4.64)
0 ; | т I > T/2.
Из (8.4.63) видно, что 0;(O равна умноженной на 1 lY^i функции Ф;(0> усеченной к полосе частот |/| ^ W. Другими словами, преобразо-14* 419
вания Фурье 0t(t) и ф^) связаны соотношением
f—Фг (/); l/Ktt7, е(/) у >-/ лп 1/1 (8.4.65)
I 0 ; \f\>W.
Кроме того, так как функция 0;(т) имеет ограниченную полосу частот, то она проходит без изменений через фильтр h^t), т. е. j Нг(х— t)Qi{t)dt равно 0,(t). Так как h^t) — четная функция, то вместе с (8.4.64) это дает
1"т7Г"6г(Т); 1ТК7/2> (Я ARM
Фг(т) = Т/Яг (8.4.66)
I 0 ; | т 1 > Г/2.
Следовательно, функции 0;(/) имеют специфическое свойство: они ор-тонормальны на бесконечном интервале, а также ортогональны на интервале (—Г/2, Г/2). Функции Qi(t) известны как волновые функции вытянутого сфероида и они часто встречаются в разных задачах физики и математики. Имеется большая литература по этим функциям, и читатель, в частности, может обратиться к работам Слепяна, Поллака и Ландау (1961), (1962) и (1964). Некоторые весьма полезные
свойства этих функций состоят в том, что все их собственные зна-
чения Яг различны и каждое соответствует единственной нормированной собственной функции (с точностью до знака). Функция 0г(/) имеет точно i — 1 нулей внутри интервала (—Г/2, Г/2) и является четной функцией для нечетного г, и наоборот.
Как следует из обсуждения теоремы 8.4.1, ф^т) является нормированной функцией на интервале (—Г/2, Г/2), содержащей наибольшую энергию в полосе —W ^ f ^W. Аналогично ф,(т) — нормированная функция на (—Г/2, Г/2), которая имеет наибольшую энергию в интервале —W ^ W при условии ортогональности к ф! (т), ..., Ф;_1(т). Из тех же соображений следует, что 0г(/) является нормированной функцией с ограниченной полосой частот (— W, W), которая имеет наибольшую энергию Хг на временном интервале (—Г/2, Г/2) при условии ортогональности к ОД/), ..., 04_1(/).‘
Теперь можно возвратиться к тому, чтобы дать более точное толкование утверждения, что класс сигналов, который приближенно ограничен во времени и по частоте, имеет около 2WT степеней свободы. Рассмотрим множество функций, которые являются линейными комбинациями первых п собственных функций (8.4.60) ф!(т), ..., фп(т). Пусть
Я
хп (X) = 2 *г Фг (т)
i — 1
-— произвольная функция этого класса и пусть
ип (0 = 2 *г Yh Qi (0
420
— tiacTb хп(т), лежащая в полосе частот — W ^ W. Доля энергии хп(%), которая содержится в полосе — W ^ ^ задается соотношением
Последнее приведенное выше неравенство следует из того, что все Xt в сумме, стоящей в числителе, ограничены снизу Хп. Таким образом, рассматривается класс ограниченных по времени функций, имеющих п степеней свободы, а у всех функций доля энергии, содержащаяся в полосе частот —W ^ ^ заключена между Хп и 1. Заметим, кроме
того, что одна из функций фп(т) имеет в полосе — W W энер-
гию, в точности равную Хп.
Прежде чем перейти к изучению поведения Хп в зависимости от п, установим, что любое другое множество функций на интервале (—Г/2, Т/2), имеющих п степеней свободы, также содержит функцию с Хп или меньшей долей ее энергии в полосе — W ^ ^ W. Под мно-
жеством функций с п степенями свободы понимается множество линейных комбинаций п линейно независимых функций. Могут быть два случая: или эти функции образуют то же пространство, что и 9i(t), ..., Ф„(т), или имеется линейная комбинация этих функций, ортогональная к ф].(т). •••> Фп(т)- В первом случае фп(т) содержится в этом множестве и имеет в полосе —W ^ ^ W энергию, равную Хп. Во втором случае функция, ортогональная к фх(т) ..., фп(т), является линейной комбинацией ф;(т) с i > п. Следовательно, так как Xt при j > п ограничены сверху Хп, то доля энергии этой функции в полосе—W не больше, чем Хп.
