Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
жить, что 0г(О и — собственные функции и собственные значения
(8.4.13). Можно опять представить z(t) в виде (8.4.37) и коэффициенты zt будут совместно гауссовскими с нулевыми средними. Покажем теперь, что коэффициенты будут некоррелированы и, следовательно, статистически независимыми. Имеем
Далее нужно исследовать, будет ли равен нулю остаточный член
Если имеется некоторая интегрируемая в квадрате функция g(t, т), для которой J%0(tu t2) — корреляция на выходе, задаваемая (8.4.48), то J t)dt = JJ g\t, x)dxdt. Из (8.4.24) следует, что это выражение равно 2А,г, и zT(t) равно нулю почти всюду с вероятностью 1.
г (*j) г (t2) = 2 zt zj 0г (*j) Qj (t2).
(8.4.45)
(8.4.46)
(8.4.47)
i
— (^i> ^a)'
где задается равенством
(ti,t2) = I g (h,*) dx.
(8.4.48)
ZtZy = Я г(О)г(/2)0г(О)О;-(*2)^1^г = Я '%o(tu *2)0i(*i)fy(*a)<M*a
(8.4.49)
(8.4.50)
(8.4.51)
2r (0 = 2(0— 2 Zi Q;(t).
i
Применяя неравенство Бесселя в виде (8.1.5), имеем
оо
^ z2r (0 dt = z2 (0 dt — 2 2?,
(8.4.52)
1
И Зак. 210
417
Если также Т0 конечно и ^2) непрерывна, то теорема Мер-
сера*) утверждает, что (8.4.26) сходится равномерно для всех tu t2. Подставляя (8.4.26) в (8.4.52) и интегрируя, находим, что правая часть опять равна нулю. Из математических соображений следует, что zT(t) не равна нулю для полностью произвольных автокорреляционных функций. Например, если Л0 равна сумме непрерывной функции и функции, которая равна 1 для tx — t2 и равна 0 в других точках, то добавляемая функция не отражается на 0г(/) или Xit однако она изменяет j $Q(t, t) dt. В последующем изложении мы будем игнорировать такие паталогии, поскольку они не соответствуют случаям, представляющим какой-либо физический интерес. Таким образом, для всех случаев, представляющих интерес, опять приходим к представлению Карунена ¦— Лоэва (8.4.41)**)
Подытоживая изложенные выше результаты, получаем, что профильтрованный гауссов белый шум можно представить в виде (8.4.41) и гауссовский случайный процесс с автокорреляционной функцией J?0(^i> ^2) можно представить в виде (8.4.41). Следовательно, если для заданной автокорреляционной функции случайного процесса можно найти функцию g(t, т), которая удовлетворяет (8.4.48), то этот случайный процесс можно рассматривать как результат прохождения белого шума через фильтр g(t, т). Рассмотрение небелого гауссова шума как профильтрованного белого шума является весьма полезным в различных задачах.
В случае стационарного гауссовского процесса с интегрируемой спектральной плотностью N(j) довольно легко найти g(t, т), удовлетворяющую (8.4.48). Определим
giit)-\VW)^nUdf. (8.4.53)
Полагая, что g(t, т) является усеченным вариантом gx(t) и задается (8.4.34), имеем
§g(*i. х)§(*2> x)dx = ^gt(t1—x)gl(t2—x)dx = (8.4.54)
= ^N(f)e/i,lfltt~tM)df = (8.4.55)
I/х I СГо/2, |/я | < Г0/2. (8.4.56)
Здесь ffi(x) — автокорреляционная функция процесса, задаваемая обратным преобразованием Фурье N(f). Полагая J?0(^i. ^2) равной M(tx —12) для 1^1 и |/2|, меньших или равных Т0/2, получаем (8.4.48). Для проверки заметим, что если белый шум подать на фильтр, например, с частотным откликом У N if), то на выходе будет процесс со спектральной плотностью N(f).
*> Например, см. Рисс и Надь (1955).
**> Теорема Карунена—Лоэва [см. Лоэв (1955)] фактически применима к случаю, когда Rо непрерывна и Т0 конечно. Она утверждает также, что (8.4.41) сходится в среднеквадратическом для каждого значения t, тогда как мы голословно утверждали наличие среднеквадратической сходимости по ансамблю и (,
458
Идеальные фильтры нижних «iacfof
Важным частным случаем фильтра теоремы 8.4.1 является идеальный фильтр нижних частот, отсекающий частоты выше некоторой заданной частоты W. Такой фильтр описывается частотной характеристикой
#,(/)=( 1; (8.4.57)
141 1 0; |/|>Г. '
Импульсный отклик h^t) является обратным преобразованием Фурье
нж
h, (t) = sin 2nWt- . (8.4.58)
nt
Рассмотрим теперь вход лишь на некотором интервале (—772, 772) и определим
Л(/, х) = fAl^ т); 1тКТ/2- (8.4.59)
I 0 ; [ т | >772.
Множество входных собственных функций (ф;(т)} для фильтра h(t, т) задаются (8.4.10) как решения интегрального уравнения
I Я(Т1, т2) фг(т2)с!т2 == (8.4.60)