Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
См., например, Рисс и Надь (1955), Ахиезер и Глазман (1950) или Курант и Гильберт (1951). Однако Курант и Гильберт не рассматривают случая, когда интервал Т бесконечен.
412
J?2 (тх,т2) ^ jj h2 (^Tj) dt ^ h2 (t, T2) dt, jjjj J?2(r1;r2) dx1dj2 ^ |^/г2 (t,x) dt dtj2-< oo.
Следовательно, сформулированный выше результат может быть применен и это показывает, что первое утверждение (8.4.15) влечет за собой второе. Второе утверждение также влечет за собой третье, так как, умножая второе выражение (8.4.15) на х(х±) и интегрируя, получаем
О = J j Л (тх,т2) х (т2) х (тх) dx2dxx.
Применяя (8.4.8) к Л (ть т2), преобразуем это выражение к виду
О = JJJ h(t, т2) х(х2) hit, тх) x(x1)dx1dx2dt,
О = h(t, т) х (т) dx]2dt.
Следовательно,
j h(t,т) x(x)dx = 0.
Ниже будет показано, что третье утверждение влечет за собой первое, и будет установлена справедливость (8.4.17).
Используя разложение х(х) (8.4.16), имеем
оо
h(t, x)x(x)dx = \^h(t,x) 2 *гФг(Т)^Т +
г'= 1
~\-^h(t,x) хт(х) dx. (8.4.32)
В силу (8.4.15) последнее слагаемое в (8.4.32) равно нулю, так как хт(х) ортогонально по всем ф,(т). Из (8.1.15) следует, что можно изменить порядок суммирования и интегрирования в первом слагаемом правой части (8.4.32) и таким образом получить
оо
h(t,x)x(x)dx = ^ ^ h (t,x) xt q>i (x) dx. (8.4.33)
i=i J
Используя (8.4.11) при интегрировании в правой части, получаем (8.4.17). Равенство (8.4.18) получается точно таким образом, за исключением того, что (8.4.10) используется при интегрировании каждого слагаемого. Покажем теперь, что если u(t) = J h(t, т) л: (т)^т и если u(t) равно 0, то х(х) ортогонально ко всем фг. Из (8.4.17) и неравенства Бесселя выводим
0 -= jj и2 (/) dt > 2 х* Xt.
Так как все положительны, то все хг должны равняться нулю и третье утверждение (8.4.15) влечет за собой первое.
Часть д) теоремы доказывается таким же образом, как и часть г), и она фактически двойственна утверждению части г). Перейдем к выводу части е) и разложения h(t, т). Так как h(t, т) —функция двух
413
Переменных, то ее можно разложить в ряд по функциям ф;(т) и Коэффициенты равны
hU = 55 h (t,t) Фг (t) Qj (t) dxdt =
= 5 yrkMt)^j(t)dt = Y%iblJ, t
h (t,x) = 2 VК Фг W 0, it) + К (t, t), i
где hr(t, x) ортогональна ко всем Фг(т)0^(/). Покажем теперь, что для любого х(х) имеем j hT(t,x) x(x)dx = 0.
\ hr (t,i) x (i) dx ^ h (t,t) x (t) dx —
— 5 ^ 0t it) фi (t) x (t) dx. i
Применяя (8.4.17) к первому слагаемому правой части приведенного выше выражения и используя соотношения (8.1.15) для обоснования изменения порядка суммирования и интегрирования во втором слагаемом, получаем
x)x(x)dx= |//Mi(0 = 0-
Так как ]" hr{t, x)x(x)dx = 0 для всех *(т), то hr(t, т) должно равняться нулю и (8.4.23) доказано. Для того чтобы показать, что это приводит к hr(t, т) = 0, следует разложить hr по функциям полного множества ортонормальных функций и прийти немедленно к противоречию, если предположить, что какой-либо член отличен от нуля. Равенство
(8.4.24) следует из (8.4.23). Для того чтобы показать это, надо в соотношении (8.1.5) заменить x(t) на h(t, т) и проинтегрировать по t и х.
Так как сумма конечна, то не могут иметь предельных точек, i
кроме нуля, и могут быть расположены в порядке невозрастания.
Равенства (8.4.25) и (8.4.26) доказываются так же, как (8.4.23), равенство (8.4.27) доказывается так же, как (8.4.24).
Наконец, обратимся к задаче нахождения максимума в (8.4.28). Используя (8.4.17), имеем
II 5 h (t,x) х (т) dx |j2 = Xj У I] Qj (t) jj2 = 21 х) %3.
i
Поскольку при максимизации хъ ..., х^ъ по условию, равны 0 и убывает с /, то имеем
' II С ..о °°
П h (t, т) х (т) dx I ^ 2 xj.
i = i
Так как |]х|] должно быть равно 1, то А,г является верхней границей для правой части (8.4.28). Однако если х(х) — Фг(т), то || J h(t, т) х (x)dx ||2 = = Я,г. Следовательно, (8.4.28) справедливо и фг(т) — максимизирующая функция. Равенство (8.4.29) получается точно таким же образом.|
414
Профильтрованный шум и разложение Карунена — Лоэва
В качестве примера использования предыдущей теоремы рассмотрим прохождение белого гауссова шума с единичной спектральной плотностью через фильтр с импульсным откликом g(t, т). Будем интересоваться главным образом случаем, когда g(t, т) — инвариатный во времени фильтр с ограниченным по времени выходом
