Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
i
ТО ^ h (t, х) x(x)dx = 21 Xi /"170,(0, (8.4.17)
*> Заметим, что любые решения ф(т) (8.4.10) с 0 не рассматриваются в ортонормальном множестве (ф;(г)}.
410
^(Tj, T2)*(T2)dTa = 2*iki<Pi(Ti). (8.4.18)
д) Пусть u(t) — произвольная функция из L2. Тогда следующие утверждения вытекают одно из другого:
[и, 0г) = 0 для всех i -ф==>- J J?0 (tlt t2) и (t2) dt2 =
= 0 <=> j h(t, т) u (t)dt = 0. (8.4.19)
Если u(t) разлагается в ряд
«(0 = 2»Л(0 + М0; 0г)> (8.4.20)
то
^h(t, т) и (t) dt — 2 И; Фг (т)> (8.4.21)
^0(ti, t2)u(t2)dt2^yjuiKiQl(t1). (8.4.22)
е) М*,т) = аК*7ф|(т)е4(0. (8-4.23)
§h2(t, т)dtdt = %xi, (8.4.24)
•ЯЫ, т2) = 2 ^г Фг Ю фг (т2), (8.4.25)
^o(/i, ^)=2Мг(О)0г(^), (8-4.26)
x2)dxxdx2 = §$lfa, /2) dt1dt2 — '^iXf. (8.4.27)
ж) и фг(т) являются решениями следующих задач по отыска-
нию максимума
Яг = шах||5 h (t, т) л: (т) dx |2, (8.4.28)
А,г = тах||5 Я (xlt х2)х (х2) dt2jj . (8.4.29)
Эти максимизации производятся при ограничениях ЦяЦ = 1 и (я,ф;-) = = 0 для 1 sc; i <L i, где || л'|| определяется как \f j х2(т) dx. В каждом
случае в качестве фг(т) можно взять функцию х(х), которая максимизи-
рует приведенные выше выражения.
Доказательство. Пусть Ф 0, фг(т) и ^-=?0, ф;-(т)—два нормированных решения интегрального уравнения (8.4.10). Пусть 0г(?) и
Qj(t) задаются равенством У | Xt 10г (t) = (t, т) фг (х) dx.
Тогда так же, как и в (8.4.7), выводим
11 I ^г h I 9г (0 Qj(t) dt= § Я (Ti> т2) Фг (Ti) Фj (*г) dxi dx2~
= ^$Ф,(т,)Фу(т1)Л1=а (8.4.30)
¦-= h J Фг (*а) Ф7 (т2) dx2. (8.4.31)
При выводе (8.4.30) в интегрировании по х2 использовалось равенство
(8.4.10). В (8.4.31) был использован тот факт, что Л(хг, т3) = Л(х2, тх)
411
и интегрирование сначала было произведено по хх. Из (8.4.30) и (8.4.31) видно, что если Я, Ф Х}, то ф, и ф7- должны быть ортогональны, и отсюда следует, что 0, и 07- ортогональны. Если i = /, то из (8.4.30) и нор-мированности фг(х) следует также нормированность 0,(0; кроме того, так как в этом случае оба интеграла в (8.4.30) положительны, то Я, > 0. Наконец, если Я, = Xj, а ф,(х) и cpj(x) линейно независимы, то любая линейная комбинация ф,(х) и cpj(x) также удовлетворяет (8.4.10). В последующем изложении, если более чем одна линейно независимая функция ф(т) удовлетворяет (8.4.10) для одного и того же значения X, то в множество ф,(х) будем включать только ортонормальный базис множества решений (8.4.10) с этим значением X и повторять это значение X соответствующее число раз в последовательности Xt. Было показано, что при таком условии ненулевые X, удовлетворяющие (8.4.10), положительны, что соответствующие ф,(х) ¦— ортонормальны и что 0,(0, задаваемые (8.4.11), ортонормальны. В дальнейшем будет показано, что ненулевые Xit удовлетворяющие (8.4.10), могут быть упорядочены в убывающую последовательность, а сейчас будем считать, что они расставлены произвольным образом.
Далее убедимся в справедливости (8.4.12), умножая обе части (8.4.11) на h(t, х*) и интегрируя по t. Получим
^0, (0 h (t, xjdt—^htf, x)h(t, хг) ф, (х) dxdt =
= Jj?(x1, та)ф,(х8)/гха=Я,4ф,(х1).
Это соотношение равносильно (8.4.12). Равенство (8.4.13) получается таким же образом; в этом случае умножаем обе части (8.4.12) на h(tly х), интегрируем по х и используем (8.4.11).
До этого места были указаны некоторые свойства, которыми должны обладать решения интегрального уравнения (8.4.10), но еще не было показано, что (8.4.10) вообще имеет какое-либо решение.
С одной стороны, доказательство существования решения (8.4.10) весьма громоздко и, с другой стороны, это существование является центральным фактом теории линейных интегральных уравнений и функционального анализа; поэтому мы просто сформулируем результат*К Если ядро Л{х±, х2) отлично от нуля и интегрируемо в квадрате и если Я(хъ x2) = J?(x2, xj), то Я(хх, х2) имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение Xt и собственную функцию ф,(х) [т. е. решение
(8.4.10)]; в действительности имеется достаточное число собственных функций и собственных значений, так что если функция х(х) ортогональна всем ф,(х), то она должна удовлетворять равенству
j J?(x1( х2) x(x2)dx2 = 0.
Для того чтобы использовать здесь этот результат, надо показать, что ffi(x\, х2) интегрируема в квадрате. Применяя неравенство Шварца к Я(хи х2) = | h(t, хг) h(t,x2)dt, получаем
