Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
со
u(t)= J h(t, х)х(х) dx. (8.4.1)
Не предполагается, что hx(t) определяет физически реализуемый фильтр, т. е. что hx(f) = 0 для / < 0. Если фильтр играет роль математического условия, то нет причины для такого ограничения.
Белый
гауссов
шум
f xz(t)dt^TS -T/Z
Рис. 8.4.1. Простой канал, ограниченный по мощности и полосе частот.
408
Примем в дальнейшем изложении, что вход фильтра равен нулю вне интервала (—772 , 772) и что нас интересует представление выхода только на некотором интервале (—TJ2, Т0/2). Для того чтобы заложить это в нашу модель и избежать постоянного беспокойства относительно пределов интегрирования, положим h(t, т) равным нулю вне интересующей нас области, т. е.
h(t, т) = 0; | т | ^ Т/2 или [ t [ ^ TJ2. (8.4.2)
Следовательно, если линейный инвариантный во времени фильтр имеет импульсный отклик hx{f), то фильтр будет представляться с помощью
Aitf-т); М<772, |/|<ГД
0 в других точках.
Если на функцию х(х) наложено ограничение, что она может быть отлична от нуля только на интервале (— TI2, Т/2), то выход u(t), задаваемый (8.4.1), является выходом линейного инвариантного во времени фильтра /гх(/) на интервале (—Т0/2, Т0/2). Вместе с тем функция u(t), определяемая (8.4.1), равна нулю вне этого интервала, в то время как выход действительного фильтра может быть там отличен от нуля.
Продолжительность сигнала на входе Т или на выходе Т0, или и того и другого может быть бесконечной, однако всегда будет предполагаться, что
(t, %) dtdx •<_ оо. (8.4.4)
Позволяя избежать паталогических ситуаций, условие (8.4.4) в то же время исключает две весьма общие в инженерной практике ситуации. Первая включает случай, когда h(t, т) содержит 6-импульсы, другая включает случай, когда Т и Т0 бесконечны и фильтр инвариантен во времени. Таким образом, в нашем подходе оба этих случая должны рассматриваться как предельные и не всегда имеется гарантия, что эти пределы существуют.
Найдем теперь функции <р;(т) и ();(/), которые связаны равенством
0г (t) = аг (j h (t, т)фг(т)с(т. (8.4.5)
Требование, чтобы 0г(О были бы ортонормальны, приводит к соотношениям
^ ©г (0 (0 dt at а} ^ h (t, тг) h (t, т2) X
X фг Сч) Фу (т2) dx2 dx1 dt = (8.4.6)
= агау^(т1, т2) Фг C^i) Ф^ (^2) dx^ dx2, (8.4.7)
где
¦^(тъ r2) = ^h(t;'x1)h(t, х2)dt. (8.4.8)
Задача нахождения множества ортонормальных функций, удовлетворяющих (8.4.7), очень часто встречается в математике и физике. Как
409
hit, ?) = !
будет видно из дальнейшего, она равносильна нахождению множества чисел Я2, ... и множества функций (р* (т), ф2(х) ..., которые удовлетворяют интегральному уравнению
(ть х2) фг (т2) dx.2 = hfi (х^. (8.4.9)
В следующей теореме суммируются свойства, которыми обладают Я,, фг-(х) и 0,(0- Эти свойства делают более легким обращение с сигналами на входе и выходе фильтра h(t, т), однако, как отмечено выше, они не дают указаний, как в действительности найти решение (8.4.9); к счастью, нет нужды в явных решениях для получения большинства последующих результатов.
Теорема 8.4.1. Пусть h(t, х) отлична от нуля и интегрируема в квадрате [т. е. удовлетворяет (8.4.4)]. Тогда существуют последовательность (конечная или бесконечная) невозрастающих положительных чисел > ... > > ... > 0 и взаимно однозначно соответству-
ющие этим числам*’ два множества ортонормальных функций ф,(х) и 0г(О, которые обладают следующими свойствами.
а) фг(х) и Я, удовлетворяют интегральному уравнению
^(хъ г2)ф?(х2)^х2 = Я;фг(т1), (8.4.10)
где JF(x1; х2) задается (8.4.8).
б) фг (х) и 0,(0 связаны соотношениями
]/%0г(О-= ^h(t, х)фг(х)Л, (8.4.11)
x)Qi(t)dt. (8.4.12)
в) 0,(0 и Я, удовлетворяют интегральному уравнению
^)е,(/2)^2 = ^,0,(/1). (8.4.13)
где ЗД, t2)= ^h(t1} x)h(t2, x)dx. (8.4.14)
г) Пусть х(х) — произвольная функция из L2 и пусть (х, ф,) = = х(х) ф,(т) dx. Тогда следующие три утверждения вытекают одно из другого:
(х, фг) = 0 для всех i -*==>¦ j Л(хъ т2) х (т2) dx2 —
— 0 <==>¦ j h(t, х) х (т) dx = 0. (8.4.15)
К тому же, если х(х) разлагается в ряд
х(т) = 2л:,ф,(т:) + х;.(т:); хг = (*> Фг). (8.4.16)
