Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Одной интересной особенностью этого результата является то, что пропускная способность не зависит от значения N(f)/\ Ях(/)|2 для частот вне заштрихованной области, т. е. от значений N(f)/\ Hi(f)\2, которые больше, чем В. Другими словами, С не зависит от особенностей поведения N(f) и (Я^/))2 при / —>- оо. Исключение из этого правила возникает, когда N(f) стремится к 0 при возрастании / быстрее, чем | Я^/)!2. В этом случае пропускная способность бесконечна и любое количество информации может быть получено с помощью передачи на достаточно высоких частотах. Это, конечно, указывает, что математическая модель не отражает основных черт физической ситуации.
Теперь можно применить эти результаты к сигналу с ограниченной полосой частот на фоне белого гауссова шума со спектральной плотностью N(f) = ЛУ2. Если вход имеет полосу частот W вокруг не-
406
которой центральной частоты fc, то ограничения можно представить в виде
В этом случае N(f)/ \ Hx(f) |2 равно NJ2 или оо в зависимости от того, находится / внутри полосы частот или нет. Подынтегральные выражения в (8.3.17) и (8.3.18) не зависят от / внутри полосы частот, и Fb должно совпадать со всей областью частот внутри полосы. Таким образом, интегрируя, получаем
Решая (8.3.22) относительно В и подставляя решение в (8.3.21), имеем
Это является известной теоремой Шеннона о пропускной способности канала, ограниченного по полосе. Эта формула часто употребляется неправильно, главным образом, из-за непонимания того, что она применима только к аддитивному гауссову шуму. Заметим также, что для частоты вне полосы, где Н*(/) = 1, несущественно, каково значение спектральной плотности, так как Af(/)/|#!(/) |2 = оо для любого ненулевого значения N(f).
Имеется ряд опубликованных в литературе математических парадоксов, касающихся формулы (8.3.23); в них считается, что N(f) — О вне полосы. В этом случае значение N(f)/\ #i(/) |2 не определено вне полосы, и пропускную способность можно сделать сколь угодно большой, если приписать сколь угодно малые значения отношению N(f)/\ Н±ф \2 вне полосы. Физически, конечно, проблема может быть очень легко разрешена — стоит только заметить, что_N(f) не может быть точно равной нулю. Другими словами, когда анализ математической модели физической задачи приходит к неопределенности, что означает, что модель слишком идеализирована и должна быть изменена.
Ы ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ И НЕБЕЛЫЙ ШУМ
Приступая к изложению точной трактовки сигналов, ограниченных'1 как по мощности, так и по частоте, начнем с анализа ситуации, изображенной на рис. 8.4.1.
На рис. 8.4.1 сигнал x(t) на входе канала имеет произвольную продолжительность Т, ограничен по мощности значением 5 и пропущен через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсным откликом /ii(0- Выход фильтра u(i) задается равенством
1;
w
W
(8.3.20)
0 на других частотах.
C = W log — ,
Nn
(8.3.21)
S=2W \В—
(8.3.22)
2
(8.3.23)
u{t) — | x(x)h1(t — x) dx.
407
Принимаемый сигнал y(t) равен сумме a(t) и белого гауссова Шума. Рассмотрим два случая, когда выход капала является неограниченным по продолжительности сигналом y(t) и когда рассматриваемый выход представляет собой часть сигнала y(t), заданную на конечном временном интервале. Как указано выше, фильтр** h^t) можно рассматривать как часть канала или как некоторое ограничение, вводимое для регулирования спектральной плотности u(t).
Первая проблема при анализе ситуации, изображенной на рис. 8.4.1, заключается в нахождении подходящего представления для
x(t), u(t) и y(t). Естественно, было бы удобным представить каждую из этих функций ортонормальным разложением и вопрос состоит в том, какое ортонормальное разложение следует выбрать. Было бы особенно хорошо, если бы можно было найти два множества ортонормальных функций, скажем {фi(t)} и {0г(/)}, таких, что множество {фг(0} могло быть использовано для представления входа фильтра; множество {0,(0} могло быть использовано для представления выхода фильтра и для каждого i нормированный отклик на ф$) был равен Qi(t). Цель этого параграфа — показать, что такие множества функций существуют и что они обладают рядом других свойств, которые делают их весьма естественными множествами функций для представления фильтра, его входа и выхода. Имеется одна неприятная особенность у этих функций, которая часто на первых порах раздражает. В лучшем случае, нахождение их не упорядочено, в худшем—фактически невозможно. Здесь нас это не будет касаться, так как в последующем изложении никогда не придется фактически вычислять эти функции. Они будут использованы исключительно как умозрительный инструмент со знанием того, что они могут быть вычислены, но что выигрыш от более глубокого проникновения не оправдал бы усилий по их отысканию.
Что важно для дальнейших обобщений, построение этих множеств функций не зависит от того, инвариантен ли фильтр во времени, а поэтому построение будет проводиться для произвольных линейных, изменяющихся во времени фильтров. Пусть h(t, т) — выход в момент времени t на S-импульс на входе в момент времени т, т. е. для заданного входа x(t) выход задается равенством
