Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
403
Шум z(t) также можно разложить по
гг = 12 (t) 6г (t) dt. (8.3.6)
В течение некоторого времени шум будет рассматриваться как результат прохождения белого гауссова шума с единичной спектральной плотностью через физически нереализуемый фильтр с частотной характеристикой, равной УN(f).
Следовательно, если положить, что п(т) — белый гауссов шум, то
zt = | z (t) 0г (t) dt = J | n (x) g (t—т) 0г (t) dtdx,
где
g(t)=^VW)ei^df.
Полагая
'MT) = T)0i (t)dt, (8.3.7)
получаем
zt = ^ n (x) г|5г (x) dx. (8.3.8)
Из рассуждений, аналогичных приведенным выше, следует, что все функции г|5;(т) приближенно являются синусоидами; функции множества {'фг(т)} приближенно ортогональны и
^?(т )dx&N{ilT). (8.3.9)
Отсюда, используя (8.1.41), имеем
^ъМ(ЦТ)8и. (8.3.10)
Суммируя u(t) и z(t), находим, что принятый сигнал на интервале (—772, 772) приближенно задается соотношениями
уЮъ'ЕуЛ®, (8.3.11)
yi = xt\H1(i/T)\+zt. (8.3.12)
Величины yt можно рассматривать как выходы множества параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами. Существенно то, что канал был разбит на узкие полосы частот, каждая из которых имеет ширину 1/Т. Каждая полоса частот имеет две степени свободы, соответствующие синусу и косинусу.
Все приведенные выше утверждения можно было бы сформулировать чуть более тщательно, однако во всем этом подходе имеется существенный недостаток, который, по-видимому, весьма трудно преодолеть. Когда Т становится большим, число параллельных каналов на единицу полосы частот возрастает. При этом, хотя шум в любых двух каналах становится статистически независимым при Т -*¦ оо, неясно, становится ли любой канал статистически независимым от
404
множества всех других каналов. Для того чтобы сделать рассуждения более точными, проще всего отказаться от подхода, основанного на рядах Фурье, и использовать другое множество ортонормальных функций; это будет сделано в следующих двух параграфах.
В остающейся части этого параграфа, тем не менее, будем считать, что (8.3.10) выполняется со строгим равенством и что (8.3.12) задает множество параллельных (независимых) каналов. Теперь можно использовать результаты гл. 7 для нахождения пропускной способности этого параллельного соединения каналов.
Используя неравенство Бесселя, ограничение на мощность (8.3.1) можно записать в виде
2ixf<ST.
(8.3.13)
Если рассмотреть yj\ Hi(i/T) \ как выход t-ro канала, то этот выход будет равен xit сложенной с независимой гауссовской случайной величиной дисперсии N(i/T)l\ Н±(ИТ) |2. Из теоремы 7.5.1 следует, что пропускная способность этого параллельного соединения (нормированная на единицу времени) равна
Сп
2 Т
log
I н1 (ЦТ) I* В
(8.3.14)
где 1В — множество i, для которых ляется решением уравнения
N (ЦТ)
N(i/T)/\H(ilT) I2 < В, а В яв-
1
N (ЦТ)
I Н! (ЦТ) I»
(8.3.15)
х} =
В
Для того чтобы достичь пропускной способности, количество энергии, которое должно быть использовано в каждом канале, следует задать равенством
^ (ЦТ) ¦ ,w \Нг(1Г/Т) 1* ’ “ в’ (8.3.16)
I 0 ; i ф. Iв-
Этот результат допускает то же толкование, что и результат теоремы 7.5.1 (см. рис. 7.5.1).
Пусть теперь Т ->- оо; в пределе (8.3.14) и (8.3.15) становятся интегралами Римана:
Hr (f) |2 В
С = lim С7
1/2 log
f?Fj3
N(f)
df,
где FB — область /, для которой N(f)/\#*(/) |2 ^ В решением уравнения
N(f)
[в
f е fb
Hi (f)
г] “f-.
(8.3.17)
В является
(8.3.18)
405
Спектральная плотность мощности входного ансамбля, на котором достигается пропускная способность, задается равенством, которое следует из (8.3.16),
( r N if) . f(=F S*(/)= I'M/) I2’ ’ (8-3.19)
I 0 ; f<?FB.
В § 8.5 будет доказано, что при некоторых небольших ограничениях на N(f) и Ях(/) переход от равенства (8.3.17) к (8.3.19) действительно верен.
Интерпретация этих равенств почти тождественна интерпретации теоремы 7.5.1 и дана на рис. 8.3.2.
Рис. 8.3.2. Распределение входной мощности для достижения пропускной способности.
Сравнивая рис. 8.3.2 с равенствами (8.3.17) — (8.3.19), можно заметить, что мощность S равна всей площади заштрихованной области на рис. 8.3.2 и что соответствующая спектральная плотность мощности при любом заданном / равна высоте заштрихованной области на этой частоте. Это толкование обычно называется интерпретацией с наполнением водой, так как можно представлять себе, что N(f)/\ Ях(/)|2 описывает дно резервуара, a S — количество налитой воды. Предположив, что области соединены, видим, что вода (мощность) распределяется таким же образом, как и при достижении пропускной способности. Пропускная способность пропорциональна интегралу (по заштрихованной части /) от логарифма отношения уровня воды В и дна резервуара N(f)l\ Я^)]2.