Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
399
Используя биномиальное разложение для Q(y), данное в (8.2.33), получаем
-м— 1
2
<го/)=(м-1)Ф(-0)-
ф2 (—«/)+••»
Это знакопеременный ряд и первые два члена дают нижнюю границу для Q(y). Это следует из того, что либо члены убывают по величине, либо оценка отрицательна. Для у ^ у0, Q(y) можно оценить дальше следующим образом:
СЦу)>(М-1)Ф(-у)
> (м— 1) ф (—у)
1-
М — 2
Ф (— У)
__Л1 —2_e_j,«/2
2~|/ 2 пу
> (М— 1) Ф ( — у)
1-----)=-
2у 2п у
>
; у > у0-
(8.2.47)
Здесь было использовано (8.2.38) для оценки снизу — Ф(—у), а затем то, что М = ехр (г/§/2) и у ^ у0. Подставляя (8.2.47) в (8.2.46), используя соотношение М = ехр (г/о/2) еще раз и оценивая Ф снизу с помощью (8.2.38), получаем
Р >
¦* е,т ^
М
1_____Ы
21/2%/
X
X
Г 1 1 1 У о У2 С1
--- ехр 'S
2я 1
3,
[а-у 1 . 2 2 2
(8.2.48)
Граница (8.2.48) справедлива для любых у, находящихся между г/о и Л, Экспоненциальный множитель максимизируется для А!2 < <.у0 < А при у = Уо и для уо ^ Л/2 при у — Л/2. Отсюда, используя Л
У2ТСсоиг/0 = yr2TR, (8.2.48) можно привести к виду 1 \ /1 1 \ , 1
> 1 —
X
М ) \ 4~[/nRT ) (
ехр l~T(ycZ~yR)^ inTiYRCx — R]
2RT Сс
1-
1 —
м
1
2 V лТСоо) V
ДЛЯ R
ДЛЯ
ГС*
' 4
2Т (Ус, <R<Ca с,
сГ-Ул)а ]
х
(8.2.49)
ехр
-—Я
пСооТ
(8.2.50)
Отсюда видно, что экспоненты в этих нижних границах совпадают с экспонентами верхних границ для всех R < Сх.
Так как симплексный код имеет ту же вероятность ошибки, что и ортогональный код с энергией, большей в М/(М — 1) раз, то можно применить границы (8.2.43), (8.2.44), (8.2.49) и (8.2.50) для симплексного кода, заменив лишь Сх во всех равенствах на Ш/(М — 1)]1/2.
400
8.3. ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ КАНАЛА С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВЫМ ШУМОМ И ОГРАНИЧЕНИЯМИ
НА ПОЛОСУ ЧАСТОТ
В предыдущих параграфах было показано, как представить сигнал и шум с помощью ортонормальных разложений, и это было использовано для нахождения пропускной способности канала с аддитивным гауссовым шумом в случае, когда имелись ограничения на мощность. Затем рассматривалась вероятность ошибочного декодирования, когда в качестве множества кодовых слов бралось множество ортогональных функций.
В этом анализе имеются два неприятных момента. Во-первых, чтобы сделать вероятность ошибки малой для скорости, близкой к пропускной способности, надо использовать огромное число ортогональных функций и это требует весьма большую полосу частот. Во-вторых, оправдание использования белого гауссова шума как модели реального шума было основано на том, что он дает приемлемое и простое приближение в интересующей нас области частот. Вместе с тем при использовании для кодирования все большего и большего числа ортогональных функций в конце концов должна превыситься область частот, в которой имеет какой-либо смысл предположение о белом гауссовом шуме. Фактически, если принять точку зрения, что полная мощность принятого шума конечна, то спектральная мощность шума должна стремиться к нулю при возрастании частоты и среднюю взаимную информацию в канале можно сделать сколь угодно большой, помещая входной сигнал на произвольно больших частотах.
Физически, приведенная выше аргументация не совсем верна, так как некоторые из аддитивных шумов возникают в приемнике и, увеличивая частоту входных сигналов, надо модифицировать приемник так, чтобы он принимал эти высокие частоты; это, в свою очередь, порождает аддитивный шум на этих частотах.
Однако физические доводы, подобные этому, не дают полностью удовлетворительного выхода из этого затруднения. Действительные трудности состоят в том, что модель гауссова белого шума и модель сигнала, не ограниченного по частоте, являются весьма неустойчивыми. Получаемые результаты очень сильно зависят от того, что происходит на бесконечно больших частотах.
Один из распространенных способов избежать эти трудности состоит в допущении, что сигнал не содержит частот, больших, чем некоторая максимальная частота W. В этом случае для представления входа может быть использована теорема отсчетов и, так как имеются 2W отсчетов в секунду, то из (8.2.9) можно заключить, что пропускная способность равна W^logt 1 + S/(N0W)]. Однако при этом подходе возникают некоторые чисто математические трудности, состоящие, в частности, в том, что определение пропускной способности, данное в гл. 4, неприменимо здесь, так как ограниченный по полосе частот сигнал одновременно не может быть строго ограничен по времени. Ниже мы вернемся к разрешению этих трудностей и сделаем точным приведенный выше результат.