Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
т'^т
Р (У I хт) = (~У'*72 ехр утА—~ — 2 — .. (8.2.31)
т' 2
ехР — (У™ - - *1 Q (Ут) dy,
У 2п L 2 J
(8.2.32)
— ос
<3 (Ут) = 1 - [Ф {Ут)\М~ 1 = 1 - [ 1 - Ф {-ym)f~l. (8.2.33)
Ре,т<(М-1)Ф(-Л//2).
(8.2.34)
Q (Ут) ^ (АГ— 1) Ф ( —^т).
(8.2.35)
397
Для малых ут правая часть (8.2.35) больше 1, хотя Q(ym) всегда не больше чем 1. Определим у0 из равенства
(8.2.36)
М ехр ^ ~-j = 1.
Для больших М значение уй является приближенным значением ут, для которого (М — 1) Ф (—Ут) = 1. Поэтому мы используем
(8.2.35) для Ут > Уо и Q(ym) < 1 для ут < у0. После этого (8.2.32) принимает вид
Г ^ rtvr. (Ут х
J V2S
Р <-
1 € ,ТП
• ехр
+ (М-1,1г15еХр
Уо
2
(Ут—А?
dy„
®(-yJdym. (8.2.37)
Оценим теперь Ф(—ут), используя следующее известное неравенство*'для гауссовской функции распределения при ут > О,
f/3
Ут
1/2:
УтУ2*
ехр (—у т/2). (8.2.38)
Подставляя правую часть (8.2.38) в (8.2.37) и оценивая сверху \/уп в интеграле величиной 1 /г/0, получаем
Р,.т<Ф(Уо-А)-
М —1
УоУ2:
Lf-L-
л. J "l/2xi
ехр
(Ут — А)2
Уо
т]*
Раскрывая квадрат в подынтегральном выражении и оценивая сверху М — 1 величиной ехр уУ2, будем иметь
ехр [г/§/2 — Л2/4] А
Ре,т<®(У0-А)-
Ф Y2
-Ус
(8.2.39)
У 4л у 0
Если Л/2 < у0 < Л, то можно применить (8.2.38) для обоих слагаемых в (8.2.39). Экспонента в каждом слагаемом будет одной и той же, что дает
ехР 1 — (А—Уо)212] У2л
1
1
А — Уо У2пу0(2у0—А)
(8.2.40)
Пусть теперь сигналы имеют продолжительность Т и мощность S = = Е/Т. Тогда
Л=]. 2TS /N0 = У2ТСХ, (8.2.41)
где Сх — пропускная способность канала, измеренная в натуральных единицах в секунду. Из (8.2.36) также имеем
0о=/21пМ = /2/?7\
(8.2.42)
*> См. Феллер (1950), т. 1, гл. VII, § 1.
398
где R — скорость, измеренная в натуральных единицах в секуйду. Следовательно, (8.2.40) справедливо при CJ4 < R < и после подстановки приведенных выше выражений (8.2.40) принимает вид
ехр [-T{/Cx-/Rf]
Y 4пТ
ус,
1
VR
V$nTR{2 VR — VCoo)
(8,2.43)
Для R CJ4 используем (8.2.34). Оценивая сверху величиной eRT и применяя (8.2.38), получаем из (8.2.34)
2
М
ехр
Ре,т<-
— Т
—R
У2лТСа
(8.2.44)
Неравенства (8.2.43) и (8.2.44) показывают, что для любого заданного R^C^ вероятность ошибки стремится к нулю по меньшей мере экспоненциально с ростом Г. Показатель экспоненты (равный (У С’от —
— УR)2 для CJ4 < R < и равный CJ2 — R для R < CJ4) изображен на рис. 8.2.4. Из рисунка видно, что рассматриваемый показатель экспоненты имеет такой же вид, как кривая зависимости показателя экспоненты от скорости для каналов с очень большим шумом. Это неудивительно, поскольку для больших Т число дискретных по времени каналов, требуемых для представления кодовых слов, растет экспоненциально и отношение средней энергии сигнала к шуму на одну степень свободы стремится к 0.
Эти результаты можно сравнить с результатами гл. 7, соответствующими тому же каналу, но с ограничением на число степеней свободы в секунду. Из сравнения видно, что потеря в показателе экспоненты, вызываемая ограничением, мала, если только число степеней свободы достаточно для того, чтобы сделать энергетическое отношение сигнал/шум на степень свободы меньше чем 1.
Оценим теперь снизу PCi m. Пусть у — некоторое число, определяемое ниже. Используя (8.2.32) и учитывая, что Q(ym) убывает с ут, получаем
Рис. 8.2.4. Показатель экспоненты в зависимости от скорости для ка-нала с белым гауссовым шумом,
у ^
э‘'т> j-уШ
ехр
(Ут' А)2
Q (ут) dym >
>Q{y)0{y-A).
(8.2.45)
(8.2.46)
Другими словами, Ре%т оценивается снизу с помощью подсчета только тех ошибок, для которых ут< у и ут> ^ у для некоторого т’.
