Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Можно легко найти совместную характеристическую функцию и совместную плотность вероятности множества совместно гауссовских случайных величин г1г ...,zh. Совместная характеристическая функция z±....zk равна по определению
k
MZl.........zh(Vi, ... , vh) = expj 2 vtz,. (8.1.37)
Пусть случайная величина у равна
vtzt.
k
2
1=1
Так как у — гауссовская величина с нулевым средним, то ее характеристическая функция равна
Му (и) = &“у = Г 1 ехр ( — -4- + juy ) dy = ехр (— о* и2), (8.1.38)
J у ZftGy \ t'Qy }
где ol—дисперсия у,
k k ___________
о\¦,-¦= 2 Vi a^iZf
i=l i= l
Заметив, что Ф составляет правую часть (8.1.37), можно подставить и = 1 в (8.1.38) и получить
MZl........zk(vv ... = ехР ( —S Д ViV^iZi j . (8.1.39)
Так как совместная характеристическая функция zlt ..., zk явля-
ется многомерным преобразованием Фурье совместной плотности вероятности случайных величин zu ..., zh, то совместную плотность вероятности можно найти преобразованием, обратным преобразованию Фурье (8.1.39). Получаем
ехр / —_1_ 2 2 Ab*ZiZ'
/ \ \ 2 |А[ /— 1 /= 1 / /о i лг\\
P(zi, ...,2*)- (2я)Л/2 1 д^ттг > (8.1.40)
где Л — матрица kx k с элементами гггг; |Л| — определитель матрицы А, а Лг> i — алгебраическое дополнение элемента i, I матрицы Л. Если |Л|= 0, то некоторая линейная комбинация zt имеет нулевую 384
дисперсию и совместная плотность вероятности существует только в смысле б-функций. Важно заметить, что совместная плотность определяется только через множество коэффициентов корреляции ггг;. Если = 0 для всех i Ф I, то можно увидеть, что р fa, . . ,гй)> представляется произведением pZl fa) ... рг (zk). Таким образом, получаем важный результат, что, если совместно гауссовские случайные величины с нулевым средним некоррелированы (т. е. 2ггг =0 для i Ф I), то они статистически независимы.
Для белого гауссова шума этот результат имеет интересное следствие, состоящее в том, что если 'б'х (0....(0 ортогональны, то
zi = J (t) z (t) dt, 1 ^ i ^ k, образуют множество статистически независимых случайных величин. Для того чтобы увидеть это, следует заметить, что
Теперь пусть (дг (/)} — полное множество ортонормальных функций и пусть для гауссовского процесса с нулевым средним {z*} — множество совместно гауссовских случайных величин, задаваемых равен-
Из этого следует, что гауссовский процесс с нулевым средним полностью определяется коэффициентами корреляции ztzt приведенного выше разложения. Для белого гауссова шума ZjZ; = (N0/2)8iU где 6,7 равно 1 для i = I и равно 0 для i Ф I.
Теперь предположим, что z (t) — гауссовский процесс с нулевым средним и что z (t) также определяется в виде совокупности слу-
Для доказательства равенства (8.1.42) и существования предела в общем случае см. задачу 8.1.
13 Зак. 210 385
(Zj+Zj)» = A f (0+^(0]*^
Раскрывая скобки и опуская члены в квадрате, получаем
(8.1.41)
ством zt = J (t) z (t)dt. Тогда для произвольной функции из L%
оо
*(0=2 *j0t(o
имеем*)
^х (t)z(t) dt = 1. i.m. 2 xt zt, (8.1.42)
где предел понимается в том смысле, что
чайных величин параметра t. Тогда для полного множества ортонормальных функций {¦&,- (0) с 2г = j (t)z(t)dt коэффициент корреляции ztzL задается равенством
Отсюда видно, что рассматриваемый процесс полностью определяется автокорреляционной функцией M(t, т) = z(t)z(т).
Далее покажем, что если Jl(t, т) — непрерывная функция, то для каждого t, z(t) — гауссовская случайная величина с нулевым средним. Для любого данного t определим ип(т) по формуле
—z{t)] d% и, следовательно,
[yn—z(t)]2 = J \ип (ti) ип (т2) [г Ю — z(t)\ [z (xj— z(t)] dx1 dx2. (8.1.45)
Так как .71 (t,x) непрерывна, то [z(тх)—z(t)\[z(x^)— z(t)\ стремится к нулю при и т2, стремящимся к t и, следовательно,
Отсюда видно, что z(t) — гауссовская случайная величина с нулевым средним. Слегка обобщая это доказательство и рассматривая линейные комбинации z(tyj, ..., z(th), можно увидеть, что z(tх), z(th) яв-
ляется множеством совместно гауссовских случайных величин. Обратно, можно показать [Давенпорт и Рут (1958)], что если случайный процесс имеет непрерывную автокорреляционную функцию и если для любого множества моментов времени tlt ..., th средние значения случайных величин z(tх), ..., z(tk) равны нулю и эти величины являются совместно гауссовскими, то z(t) — гауссовский случайный процесс с нулевым средним (в смысле первоначального определения).
