Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
sy(f) = sz(f)\H(f)f. (8.1.33)
Для истолкования смысла спектральной плотности мощности определим мощность стационарного в широком смысле случайного процесса у (t), как у2 (t) = Му (0). Так как Sy (/) — преобразование Фурье Лу (t), то имеем
оо оо
7(0- S Sv(f)df-= S S2(f)\H(f)\*df. (8.1.34)
— 00 —00
Если | Я (/) |2 равно единице в узкой полосе частот и нулю в других точках, то мощность на выходе фильтра равна интегралу от Sz (/) по этой узкой полосе, и Sz (/) физически можно интерпретировать как плотность мощности на единицу полосы частот на частоте /.
Рассмотрим теперь кратко реальные физические шумы и выясним, почему часто они адекватно могут моделироваться с помощью одного частного класса случайных процессов, называемых гауссовскими случайными процессами. Для многих шумов, по существу, равна нулю физическая связь между значениями шума в любые два момента времени, отделяемые более чем очень малым интервалом Л, который называется временем когерентности шума*>. При создании моделирующего шум случайного процесса целесообразно принять, что шум приближенно статистически независим в два момента времени, отделенных более чем интервалом Д. Следовательно, если такой шум подается на вход фильтра с импульсным откликом h (t) и если h (t) существенно отличен от нуля на интервале, много большем чем Д, то на основании
*> Для процессов, содержащих последовательность импульсов, А должно быть также большим, чем среднее время действия импульсов. (Прим. ред.)
382
центральной предельной теоремы следует ожидать, что отклик фильтра в любой заданный момент времени вполне можно моделировать гауссовской случайной величиной. Если А столь мало, что это предположение приемлемо для всех интересующих нас фильтров, то модель шума как случайного процесса можно упростить, приняв, что выход любого линейного фильтра в любой данный момент времени является гауссовской случайной величиной. Такой случайный процесс известен как гауссовский. Более точно, случайный гауссовский процесс*> z (t) с нулевым средним определяется как процесс, обладающий тем свойством, что для любой функции х (t) из L2 значение J х (t) z (t) dt является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и конечной дисперсией. Для ранее рассмотренных случайных процессов этот интеграл можно понимать обычным образом. Однако здесь желательно рассмотреть несколько более широкий класс случайных процессов, включающий белый гауссовский случайный процесс (или белый гауссов шум), который определяется на основе того свойства, что для любой функции х (t) из L2 х = j х (t) г (t) dt — гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией
где N0/2 — постоянная, независящая от х (t). Как мы увидим далее, этот процесс столь «дикий», что его нельзя определить как совокупность случайных величин, каждая из которых соответствует одному из значений параметра t. Вместе с тем, все что будет нужно в последующем изложении — это случайные величины J х (t) z (t) dt и, следовательно, случайный процесс будем считать определенным, если имеется правило, задающее случайную величину J х (t) z (t) dt для всех функций х (t) из L2. При таком подходе нет нужды беспокоиться о том, что означает указанный выше интеграл или каким образом определить z(t) как совокупность случайных величин параметра t. Указанный выше подход подобен тому, который используется при рассмотрении обобщенных функций, когда обобщенные функции не определяются через их значения для каждого значения аргумента, а вместо этого они определяются через интеграл от их произведения на каждую функцию из подходящим образом определенного класса функций. По этой причине белый гауссов шум обычно называют обобщенным случайным процессом. Следующее условие линейности должно быть наложено на случайные величины j Ф (t) z (t) dt: для любого множества постоянных аг, ..., ah и любого[множествафункций (t),..., (t) изL2требуется, чтобы
*> Это определение не является наиболее общим, которое может быть дано. Можно показать, что для стационарных процессов указанное определение приводит к тому, что спектральная плотность процесса ограничена (см. задачу 8.2).
(8.1.35)
г k 1 k
2я;^г(0 z(t)dt= 2 at\ ¦&i(t)z(t)dt. (8.1.36)
(=i J i=i J
383
Для гауссовских случайных процессов с нулевым средним значением случайные величины Z; == [ Фг (t) z (t) dt и случайная величина у = = ]" [2агдг(Г)]г (t) dt имеют нулевое среднее и являются гауссовскими. Следовательно, любая линейная комбинация гауссовских случайных величин zt также является гауссовской случайной величиной. Множество случайных величин, для которых каждая конечная линейная комбинация гауссовская, называется множеством совместно гауссовских случайных величин так, что множество zit рассмотренное выше, является множеством совместно гауссовских случайных величин.
