Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
оо
X(f)= 2 *,©;(/), (8.1.27)
I ¦=» — о©
= $*(/) в? (/)<//.
Используя (8.1.25) и тот факт, что X (/) = 0, для |/| > W, имеем
—оо
Подставляя это выражение для хг в (8.1.27) и беря преобразование Фурье, получаем (8.1.26). В приведенном выше выводе предполагалось, что x(t) обладает достаточно хорошим поведением, так что обратное преобразование X (/) всюду сходится к х (().
Теперь аналогично тому как разложение Фурье использовалось для образования сигналов, ограниченных во времени интервалом (—Г/2, 772) и приближенно ограниченных по полосе частот |/| ^ W, можно использовать разложение по выборочным функциям для образования сигналов с точно ограниченной полосой частот и приближенно ограниченных во времени. В этом случае следует использовать 0, (^), для которых |i| ^.WT. Опять получаем 2WT + 1 степеней свободы, и функция х (Y) из рассматриваемого класса равна нулю во всех точках отсчета с | i/(2W) |>772. Это представление рассматривается при тех же самых ограничениях, что и представление рядом Фурье, и на самом деле это то же самое представление, в котором, однако, роль времени играет частота, и наоборот.
Гауссовские случайные процессы
В этом параграфе дается краткое описание гауссовских случайных процессов и показывается, почему они так часто являются разумной моделью для реальных шумов. Случайный процесс*' z (t) можно представлять себе как множество функций с вероятностной мерой, заданной на этом множестве. Точнее, процесс можно задать как совокупность случайных величин z (t): каждая отдельная случайная величина соответствует каждому действительному значению параметра t. Одним из методов задания случайного процесса служит правило, которое
*> Более точно, здесь рассматриваются случайные процессы с непрерывным параметром, в отличие от случайных процессов с дискретным параметром, рассмотренных в § 3.5.
380
каждому конечному множеству моментов времени tlt ....^относит совместную функцию распределения Ftl, t2...t (zi, z2, ...,'zn) случайных
величин z (^), z(t2), ..., 2 (tn). При каждом выборе действительных чисел zly z2, ..., zn это распределение является вероятностью того, что г (^i) zlt 2 (t2) ^ 22, 2 (tn) ^ zn. Случайный процесс называется
стационарным, если вероятностная мера инвариантна относительно сдвига во времени или, точнее, если для каждого конечного множества моментов времени для каждого интервала времени Т и для
каждого выбора действительных чисел гъ ..., zn имеем
....tn (Zi,... ,zn)=--Fti+T;... . {п+т(?i. (8.1.28)
Говорят, что среднее значение случайного процесса равно нулю, если для каждого t математическое ожидание z (t) равно нулю. В дальнейшем будут рассматриваться лишь процессы с нулевым средним. В действительности это не приводит здесь к потере общности, так как произвольный случайный процесс может быть разбит на две части: z (f) и 2 (t) — 2 (/), где 2 (t) — детерминированная функция (хотя не обязательно из Ь2), a z (i) — z(t) — случайный процесс с нулевым средним.
Автокорреляционной функцией случайного процесса 2 (/) называется функция двух действительных переменных, определяемая равенством
.Я&Л) -2(^)2(У. (8.1.29)
Автокорреляционная функция случайного процесса, очевидно, не дает полного описания процесса, однако, как сейчас будет показано, описание с ее помощью достаточно для ответа на вопросы, касающиеся линейной фильтрации случайных процессов.
Предположим, что линейный инвариантный во времени фильтр имеет импульсный отклик h (t). Под этим понимается, что функция на выходе фильтра равна свертке функции на входе с h (t) и, следовательно, если вход — случайный процесс z(t), то выход—другой случайный процесс у (t), определяемый равенством*)
у (t) = J /г (/ — т) г (т) dx. (8.1.30)
Тогда автокорреляционная функция у (t) задается равенством
(tu t2) =7(Ш=
= §h (/i—^Ti) h (t2 —т2) 2 (ti) 2 (x2) dti dx2. (8.1.31)
*> Рассуждения, которые начинаются здесь и оканчиваются формулой (8.1.34), нужны лишь для введения и наглядного разъяснения и поэтому здесь опускается точное определение того, как понимать интеграл в (8.1.30), а также опускается любое обоснование изменения порядка интегрирования и математического ожидания в (8.1.32). Более точное рассмотрение этого можно найти, например, у Давенпорта и Рута (1958), гл. 4, и у Яглома (1952), гл. 1 и 2.
381
Изменяя порядок интегрирования и математического ожидания, получаем
я у (*1. Q = Ц h if-L—ei)h (*2—^2) (Ti, T2) ^ <*ra. (8.1.32)
Следовательно, корреляционная функция случайного процесса на выходе линейного инвариантного во времени фильтра определяется по корреляционной функции случайного процесса на входе. Если случайный процесс 2 (t) стационарный, то (tlt t2) — функция только разности t = tx — t2 и выражается как функция только одного переменного Mz (t). Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его автокорреляционная функция Я (tlf t2) является функцией только t = tx — t2. Из (8.1.32) легко заметить, что если z (t) стационарен в широком смысле, то у (t) также стационарен в широком смысле. Если z (t) стационарен в широком смысле, то (8.1.32) можно интерпретировать как свертку Яг (t) с h (t) и полученного результата с h (—i). Поэтому если определить спектральную плотность мощности Sz (/) стационарного в широком смысле случайного процесса 2 (t) как преобразование Фурье Яг (t), Sz (/) = = J Лг (t) е~<2яЧ dt и ввести Я (/) = J h (t) е~'2п^ dt — частотную характеристику фильтра, то получим
