Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
*> См., например, Ахиезер и Глазман, стр. 41 (1950).
377
Предположим, что мы хотим построить множество сигналов, которые ограничены во времени интервалом (—772, Т/2), и также приближенно ограничены по частоте частотами, меньшими некоторого максимального значения W. Можно сделать некоторое продвижение в решении этой задачи, если рассмотреть фг (/) из (8.1.18) как комплексную синусоиду частоты ИТ. Так как фг (/) усечена, то она не имеет ограниченную полосу частот; ее преобразование Фурье имеет вид
ф* (/) - S Фг (0 e~I2*ft dt = YT ¦ (8.1.20)
График функции Фг (/) изображен на рис. 8.1.1 и из него ясно, что Ф, (/) имеет наибольшую энергию на частотах в окрестности ИТ. Если рассматриваются функции, являющиеся линейными комбинациями фг (/) с — WT i ^ WT, где WT — целое, то
-V (t) У, xt(pi(t). (8.1.21)
1——WT
Этот класс функций строго ограничен во времени интервалом (—772, Г/2) и в некотором смысле ограничен по частоте полосой (—W, W). Следовательно, произвольная комплексная функция в этом классе задается с помощью
2 WT + 1 комплексных чисел. Если потребовать, чтобы х (t) была действительной, то х_{ = х* и х (/) определяется 2WT + 1 действительными числами, а именно числом х0, которое действительно, и действительными и мнимыми частями xt с i > 0. О классе функций, в котором любая функция может быть определена п действительными числами, говорят, что он имеет п степеней свободы и, следовательно, класс действительных функций х (/), удовлетворяющих (8.1.21), имеет 2WT + 1 степеней свободы. Заметим, что не имеет никакого смысла говорить о числе степеней свободы функций без указания вначале класса функций, к которому она принадлежит.
Если попытаться уточнить смысл, в котором функции, удовлетворяющие (8.1.21), имеют ограниченную полосу частот, то можно столкнуться с целым рядом проблем и в действительности может случиться так, что при достаточно специальном выборе xt наибольшая часть энергии х (/) окажется вне полосы частот (—W, W). В § 8.4 этот вопрос о сигнале, ограниченном во времени и по частоте, получит более удовлетворительное математическое рассмотрение на основе использова-378
Рис.
=Ут
Вид функции Ф; (f)--sin п Т [f — (i/T)}
nT[f-(t/T)] ’ ¦
ния другого множества ортонормальных функций. Однако рассматриваемое здесь приближение, использующее ограниченные во времени синусоиды, весьма полезно для более глубокого проникновения в различные проблемы техники связи; этого не следует избегать в силу недостаточной точности понятия ограниченной полосы частот.
Второе множество ортонормальных функций, которое весьма полезно в приобретении навыков понимания существа многих задач, составляют отсчетные функции
6г (0 -= Yw s'n . (8.1.22)
2nW[t — ii{2W)}
Для того чтобы увидеть, что эти функции ортонормальны, надо прежде всего установить равенство Парсеваля, связывающее преобразования Фурье. Пусть X (/) и У (/) — преобразования Фурье функций х (t) и у (t). Тогда*)
\x(t)y*(t)dt^\x(f)Y*(f)df. (8.1.23)
Следовательно, если {срг (t)} — какое-либо множество ортонормальных функций и Фг (/) — преобразование Фурье срг (t) для каждого i, то (Фг (/)} —также множество ортонормальных функций, удовлетворяющих
бг,г = 5 Ф*(0Ф?(0<И=$Ф,(/)Ф?М. (8.1.24)
Полагая, что Фг (/) задается (8.1.20) и подставляя t вместо / и 2W
вместо Т, видим, что 0г (t) в (8.1.22) являются ортонормальными.
Используя соотношение (8.1.20), можно найти преобразование Фурье 0г (t)
1/К*
©г(/)= * 2W ' 2W (8.1.25)
0 ; | / j > W.
Таким образом, мы видим, что все 0* (t) имеют полосу частот, ограниченную W, в том смысле, что их преобразования Фурье равны 0 при
|/|>w\
Функции 0г (t) называются отсчетными функциями, поскольку любая функция x(t) с полосой частот, ограниченной может
быть представлена через эти функции и значения х (t) в точках, отделенных интервалами 42W:
(8J'26)
Для общих функций с конечной энергией эти преобразования Фурье
т
существуют в том смысле, что X(f) — l.i. m. J x(f) e~^2n^dt; x(f)—
T ^ оо —T
F
= l.i.m. |Х(/)е,-2я^/и (8.1.23) всегда справедливо. См. Титчмарш (1948), тео-
F -+ оо —F
ремы 48 и 49.
379
Для того чтобы вывести (8.1.26), обозначим через X (/) преобразование Фурье х (/). Так как X (/) = 0 для |/|> W, то она может быть разложена в ряд Фурье
