Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
i=k+ 1
растании k и I. Таким образом, xFih(t) стремится к пределу*) xr(t), который ортогонален ко всем ф, (/):
xr(t) = 1. i. m. xFik(t). (8.1.8)
Обозначение 1. i. ш. в (8.1.8) используется для предела в среднем**).
Под этим понимается, что ПяД1л:г(/)—xTih(t) \2dt=0и это равенство
k -> со
не обязательно означает, что xFi h (t) сходится к пределу для каждого значения t. Теперь можно представить х (t) как
оо
x(t) = 2*гФ«(-0 + л:г(0> (8.1.9)
<=1
*> Существование этой предельной функции вытекает из теоремы Рисса -— Фишера [см., например, Рисс и Надь (1955)].
**> Чаще такой предел называют пределом в среднем квадратичном (Прим- ред.).
375
X
5 х (t) ф* (/) dt; ^ хг (О -Ф* (0 dt - 0 для всех /.
Под бесконечной суммой в (8.1.9), а также на протяжении этой главы понимается предел
На геометрическом языке (8.1.9) утверждает, что функция л- (/) может быть разложена на две составляющие: одну в подпространстве, порожденном фг (/), И другую ---- ортогональную подпространству фi (t).
Обычно при использовании (8.1.9) с бесконечным рядом можно обращаться как с конечным. Как правило, это можно оправдать с помощью неравенства Шварца, которое устанавливает, что для двух функций х (t) и у (t) из L2
Для того чтобы проверить справедливость (8.1.10), положим, что
будет ортонормальным множеством, содержащим лишь один элемент. Тогда неравенство Бесселя, примененное к х (t), имеет вид
Подставляя (8.1.11) в (8.1.12), получаем (8.1.10).
Для того чтобы построить пример, показывающий, как неравенство Шварца может применяться, когда имеют дело с разложением функции х (t) в бесконечный ряд (8.1.9), рассмотрим интеграл
Применяя неравенство Шварца к последнему интегралу в (8.1.13), получаем
Вспоминая, что рассматривается только функция с интегрируемым квадратом, находим, что предел правой части (8.1.14) при k-*- оо
376
k
1. i. m. 2 хгф,(/).
| J х (t) у* {t) dt |2< $ | x (t)j2 dt $ | у (0 |2 dt. (8.1.10)
Г.
(8.1.11)
§ x (t) ф* (/) dt |2 ^ § | x (t) |2 dt.
(8.1.12)
\ 'h Xi4>i(t)y* (t)dt = i(t)y*(t)dt-+
J t=i i=i
(8.1.13)
2j Xt фг {t) y* (t) dt < | 2 xt фг (t) |2 dt X
равен 0. А тогда можно перейти к пределу в (8.1.13) и, следовательно, изменить порядок интегрирования и суммирования:
2 xi^i{t)y*{t)dt = 2 y*(t)dt. (8.1.15)
/= 1 /= 1
Говорят, что множество ортонормированных функций полно в классе функций, если все функции этого класса содержатся в подпространстве, порожденном фг (/), или иначе, если хт (Нравно нулю для всех функций класса. В этом случае ясно, что член в левой части
(8.1.5) стремится к нулю с возрастанием k и, следовательно,
оо
x(t) \2dt= 2 \Xi |2, (8.1.16)
i=i
если x (t) принадлежит подпространству, порожденному множеством Фi(t). Равенство (8.1.16) называется энергетическим уравнением и часто будет использоваться в последующем изложении.
Если х (t) принадлежит подпространству, порожденному ортонор-мальным множеством фг (t) и если у (t) — любая другая функция из Lt, то имеет место также равенство Парсеваля
\x{t)y* {t)dt = ^\xiy*i, (8.1.17)
где yi = \y(t)q*(t)dt. Для того чтобы вывести (8.1.17), заметим, что х (t) = Фг (0 и> следовательно, (8.1.17) эквивалентно (8.1.15).
В качестве довольно частого примера множества ортонормальных функций рассмотрим
f — ехр ( ) ; 11К Г/2,
Фг (0-| 1 т \ т J (8.1.18)
в других точках,
где / = У—1 и i — какое-либо целое число. Тогда равенство (8.1.9) принимает вид
I ]/"— 2 *гехр (; |/| <7/2,
*(*) = V Т ^оо V Т / 1 1 (8.1.19)
в других точках,
где
X; '-=•
Т/2
1 [ X (t) ехр j dt.
У
-т/
Это просто разложение функции на интервале (—772, Т/2) в ряд Фурье. Это множество функций полно в классе функций с конечной энергией, определенных на интервале (—772, 772)*> и, следовательно, остаточный член xr (t) отвечает х (t) вне этого интервала.
