Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
На протяжении этой главы мы будем иметь дело с некоторыми математическими понятиями, такими, как сходимость рядов, изменение порядка суммирования и интегрирования, и существование пределов. Связанные с ними вопросы нельзя разрешить на основе физических соображений, поскольку они относятся только к математическим моделям физических задач. В действительности, часто можно глубже проникнуть в суть физических явлений, исследуя случаи, когда математические пределы перестают существовать. Вместе с тем, если непрестанно беспокоиться о сходимости и пределах, то мы затем-
373
ним более важные вопросы и потеряем читателей, которые не имеют либо подготовки, либо склонности следовать сложным обоснованиям предельного перехода. Многие из этих вопросов, касающихся сходимости, можно обойти или по крайней мере упростить, если ограничиться рассмотрением функций конечной энергии, т. е. функций х (/), для которых*) J | х (/)|2 dt<Coo. Эти функции часто называют функциями из L2. Хотя они образуют достаточно общий класс функций, тем,не менее отметим, что как импульсные функции, так и синусоиды бесконечной длительности не будут функциями с конечной энергией.
Две функции ф! (t) и ф2 (t) называются ортогональными, если I Ф1 (0 Фг (0 dt = 0, где ф* (/) — функция, комплексно-сопряженная с ф2 (/). Функция называется нормированной, если ее энергия I [фг (t) j 2dt равна 1. Ортонормальное множество определяется как множество функций фг (/), ф2 (/), ... , каждая из которых нормирована и каждая пара которых ортогональна-, таким образом, для всех фг, ф;-из множества имеем
\yt(t)4>nt)dt---6if, (8.1.1)
где [бг7- = 1 для i = j и б и = 0 в других случаях.
Предположим теперь, что функция х (t) может быть представлена через ортонормальное множество функций в виде
k
x(t) = 2 xt фг (t). (8.1.2)
г=1
В этих условиях коэффициенты xt удовлетворяют соотношениям
xt = (t) ф* (t) dt. (8.1.3)
Чтобы увидеть это, нужно подставить (8.1.2) в (8.1.3) и проинтегрировать полученное выражение, учитывая (8.1.1)
Пусть теперь х (t) — произвольная функция из L2 и пусть хг определяется (8.1.3). Следует исследовать, может ли разложение
со
2 Х1 Фг (О
г = 1
по-прежнему быть использовано для представления х (/). Пусть •Гг, h (t) — остаток, получающийся, когда k членов разложения использованы для представления х (/):
xr,k (0 -= * (0 — 2 *1 Фг (0- (8.1.4)
i~ I
Если умножить обе части (8.1.4) на q* (t) и проинтегрировать, то можно сразу же заметить, что xr> k (t) ортогональна фг (t) при всех i ^ k.
*> На протяжении этой главы любой интеграл, в котором не указаны пределы, берется в пределах от — оо до + оо,
374
Энергия xTt h (t) задается выражением
SI xr,h (О I2 dt s
k
V
x{i)~ 2j i= 1
k
2 .V/ (I)
i= 1
^ | A- (t) I2 dt — 2 •** j x (t) ф* (t) dt — 2 Xt \ x* (t) фг (t) dt +
i i
+2.*/**$ф|(оФ /(o^ = Si x(t)fdt~~21xt!2- (8-]-5)
/=i
При выводе (8.1.5) была использована формула (8.1.3) и ее комплексное сопряжение х* — J х* (/)фг (t) dt.
Так как энергия хг> h неотрицательна для всех k, то
k
^|*г|2<$| x(t)\*dt, (8.1.6)
AJ
1
2 |хг|2<5|х(0|2Л. (8.1.7)
i=i
Соотношение (8.1.7) известно как неравенство Бесселя и оно будет часто использоваться в последующем изложении.
Теперь можно исследовать предельное поведение xTth (t), рассматривая разность между xTh(t) и xrl(t) при l>k. Из($.1.4) следует,
1 ' ’ i
что разность равна 2 xi Фг (0 и имеет энергию 2 I xt |2.
i=k+ (=a+i
00
Неравенство Бесселя показывает, что 2 I х? |2 ограничена и
i= 1
i
поэтому 2 | xt |2 должна стремиться к 0, при неограниченном воз-
