Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1 + р) В — рап
Просуммировав по п, получим неявное выражение для параметра В
^ (l-fp)2 (р-<?) в
n:al<B 0 + Р)^ Р°п
% =
(7.5.28)
Правая часть (7.5.28) — непрерывная возрастающая функция В. Это следует из того, что каждое слагаемое является непрерывной функцией и когда новое слагаемое входит в сумму, оно возрастает, начиная с нулевого значения. Следовательно, (7.5.28) имеет единственное решение для В, которое в свою очередь определяет р„ по (7.5.26) и ёп по
(7.5.27). Если <Е = 0, то любое s согласуется с (7.5.19). Если &п > 0 и Р„ удовлетворяет (7.5.23), то значение s, удовлетворяющее (7.5.19), вычислено в (7.4.38) и равно
s -------Bdn-----=--------Н---. (7.5.29)
2 (1 + Р)2Р„»П 2(1+ р)3 В
Таким образом, одно и то же значение s удовлетворяет (7.5.19) для всех п и наше решение является совместным.
Далее выполним максимизацию по р. Имеем
R+ ~ др 2
1
1+р
IV
In Р„
Рп
(1 + р) Рп—А„ — 0.
Так же как (7.4.29), это выражение упрощается к
R = 2 1(/2 1п Рд>
R
= 2 v,m4
2 „ п:Оп < В
(7.5.30)
(7.5.31)
(7.5.32)
Наконец, Er (R) совпадает с Е, вычисленным при заданных р, р„ и An I
г2Г(1“Р*>(1+р>+л»+1п(р»-гЬч
Er(R)
(7.5.33)
366
В (7.5.33) только слагаемые с < В дают вклад в сумму. Используя соотношение (7.5.19) для слагаемых, не содержащих знак логарифма, и (7.5.23) для слагаемых со знаком логарифма, получаем
^ ^ 2s<Sn (1 + Р) — In ^ 1 +Р------
Суммируя поли используя выражение (7.5.29) для s, получаем
- 2 V2ln(l + P--^-V (7.5.34)
2В( 1+р) Г* \ В
п оп < ti '
Равенства (7.5.28), (7.5.32) и (7.5.34) —параметрические соотношения с параметрами В и р (0 <1 р ^ 1), связывающие энергию % (В, р), скорость R (В) и показатель экспоненты Ег (В, р). Легко видеть, что Щ (В, р) является непрерывной и строго возрастающей функцией В и р (при В > mino?). Следовательно, уравнение $ = $ (В, р) при фиксированной энергии <$ определяет В как функцию р и это неявно определяет R (В) как функцию р (или р как функцию R и <?). Для р = = 0, как это можно увидеть, сравнив (7.5.28) и (7.5.32) с теоремой
7.5.1, получающаяся скорость совпадает просто с пропускной способностью канала при заданном &. Показатель экспоненты Е (В, р) равен нулю при р = 0. При фиксированной энергии Ш с возрастанием р величина В убывает, R (В) также убывает, а Е (В, р) возрастает. Как и ранее, наклон Е как функции R равен — р, что легче всего можно увидеть из графика рис. 5.6.4. Когда при фиксированном ё значение р возрастает до 1, В убывает до критического значения Вст, задаваемого соотношением
% = Е{ВСГ, 1)- ^ . (7.5.35)
п-.с1<вст
Значению В сг соответствует критическое значение скорости, определяемое по формуле
Rcr= 2 (7.5.36)
п-а%<всг °П
Параметрические уравнения (7.5.28), (7.5.32) и (7.5.34) применимы только при фиксированном <$ и для R из области R cr ^ R ^ С. Для R < R сг показатель экспоненты Е максимизируется на значении р = = 1 с решениями для Ап и рп, указанными выше. Это приводит к показателю экспоненты Ет (R), задаваемому равенством
Er(R)^E(Bcr, 1 ) + Rcr~R. (7.5.37)
Следует отметить, что во всем интервале скоростей распределение энергии по множеству каналов дается формулой (7.5.27) при соответствующим образом выбранных В и р. С изменением R при фиксированном ё обе величины Вир изменяются и изменяется распределение
367
энергии. Другими словами, использование теоремы 7. 5.1 на практике для распределения энергии между параллельными каналами с гауссовыми шумами не всегда разумно, даже тогда, когда в системах применяются сложные системы кодирования.
Коэффициент [2es6/|x]a в выражении вероятности ошибки может быть оценен как и ранее с помощью центральной предельной теоремы. Имеем*)
Граница случайного кодирования для процедуры с выбрасыванием для параллельных каналов с аддитивными гауссовыми шумами'получается как обобщение результата для одного канала с гауссовым шумом и доказывается тем же методом, что и граница случайного кодирования. Используя ансамбль кодов, описанный соотношением (7.5.9), найдем, что для любого R^O существует код с М = [ | кодовыми словами,
