Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Галлагер Р. -> "Теория информации и надежная связь" -> 174

Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.

Галлагер Р. Теория информации и надежная связь — М.: Советское радио, 1974. — 738 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyainformacii1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 355 >> Следующая


Р(у\х) = - ехр[—(у—х)21(2а2)],

У 2яа

а ограничение имеет вид =гоМ. Тогда для любой длины блока N и любой скорости 0 ^ R < С = 1/2 In (1 + Л) существует код

с М = р eNR | кодовыми словами, каждое из которых удовлетворяет

ограничению (7.4.19) и границе вероятности ошибки

Ре,т<

2е5в

2e-NEr<,R)t (7.4.57)

где ЕТ (R) задается соотношениями (7.4.33) и (7.4.36), a 2ese/|i. задается приближенно (7.4.40). Кроме того, если R', задаваемое (7.4.54)

и (7.4.56), удовлетворяет (7.4.53), то также для всех кодовых слов

\

pem<exp{-^ [l — У"! — е- 2Л']|. (7.4.58)

Хотя это непосредственно не очевидно из выражения для Ет (R), однако из § 7.3 следует, что max [?г (R), EeX(R)] является выпуклой ^ невозрастающей положительной функцией для О^Я In (1 +^4).

7.5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КАНАЛЫ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВЫМ ШУМОМ

В следующей главе канал с непрерывным временем и аддитивным гауссовым шумом будет сведен к множеству параллельных дискретных по времени каналов с аддитивным гауссовым шумом. Следующая теорема позволяет найти пропускную способность такого параллельного соединения каналов.

Теорема 7.5.1. Рассмотрим множество из N параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами и дис-

361
персиями шумов о], о&. Пусть входы каналов удовлетворяют огра-

ничению

N __

2 (7.5.1)

П= 1

Тогда пропускная способность достигается на входах, представляющих собой статистически независимые гауссовские случайные ве-



ь

¦б1г

У

62

ёг2

Рис. 7.5.1. Интерпретация, связанная с «наполнением водой» для параллельных дискретных по времени каналов с аддитивным гауссовым шумом.

личины с нулевыми средними и дисперсиями

= (7.5.2)

где &п удовлетворяют соотношениям

On + <§п~~=В Для а*п<^В, '(7.5.3)

<§п = 0 для а,2г>В (7.5.4)

и где В выбрано так, что 2<^п = <Е. Пропускная способность парал-

лельного соединения каналов равна

N

С — У. 1/ in(l + -%) нат = (7.5.5)

л= i ' °п '

= 2 V2 In (B/al) нат. (7.5.6)

п: а* < В

Обсуждение. Графическая интерпретация распределения для входных энергий, используемых в различных каналах, приведена на рис. 7.5.1. Можно представить себе общую энергию Ш как объем воды, которая помещается в резервуар с неровной формой дна, определяемой дисперсиями шума. Уровень, до которого поднимается вода, равен В, а &п определяет глубину воды в различных частях резервуара.

Доказательство. Пусть XN = (Х1Х2... XN) и YN = (УхУг... Yn) — совместные входные и выходные ансамбли. Так же как и (7.2.19), доказывается, что

/(X"; Y")< S ПХп,Уп)

П= 1

362
с равенством, когда входы независимы. Пусть ёп — среднеквадратическое значение ti-го входа для любого заданного совместного ансамбля. Тогда, используя теорему 7.4.2, имеем

с равенством, когда входы — гауссовские случайные величины с нулевым средним. Правая часть (7.5.7) — выпуклая ^ функция вектора (&1, йлО- Теперь осталось провести максимизацию этой функции в выпуклой области, где Щп ^ 0, 1 < ti < N и Sg’n < ’S. Очевидно, максимум имеет место, когда 2gn/<» = 1 и, следовательно, рассматриваемая задача тождественна максимизации выпуклой функции вектора вероятностей. Из теоремы 4.4.1 вытекает, что необходимые и достаточные условия максимума будут

с равенством, когда &п> 0, и а, выбранным так, что удовлетворяется равенство = S. Дифференцируя, выводим

Выбирая В = 1/(2а), получаем (7.5.3) и (7.5.4). То что получается максимум, задаваемый (7.5.5) и (7.5.6), следует из соотношений (7.5.7),

(7.5.4) и (7.5.5). |

Далее распространим границу случайного кодирования и границу для процедуры с выбрасыванием на параллельные каналы с аддитивным гауссовым шумом. Для простоты обозначения примем, что длина блока равна 1. Результаты могут быть применены к произвольной длине блока N', если рассмотреть множество параллельных каналов с N' повторениями каждого из первоначальных каналов.

Для N параллельных каналов с дисперсиями шумов of, ..., о% соответственно совместная переходная плотность вероятности множества каналов равна

Примем, что каждое кодовое слово \т должно удовлетворять соотношению
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 355 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed