Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Lt подблоков. Фактическая скорость несколько меньше и отличается множителем Lt/(Lt-\-L — 1) в силу наличия концевой последовательности в полном блоке. Подставляя R = (k/v) In 2 и смещение В = Е0 X X(l, Q) в (6.9.40) —(6.9.42), получаем
Ре>п < А ехр l—vLE0 (1, Q)], (6.9.43)
А--
1 +Z
ехр
vR
(6.9.44)
(1—г)2 (1—г)5
2 = ехр{ — v[?0(l, Q) — R\}. (6.9.45)
Эта граница справедлива при R<E0 (1, Q), что совпадает с ограни-чением, необходимым для того, чтобы Wn было бы конечно.
Заметим, что вероятность ошибочного декодирования подблока в (6.9.43) убывает экспоненциально с ростом длины кодового ограничения vL, причем показатель экспоненты равен Е0 (1, Q). То что этот показатель не зависит от скорости при R < Е0 (1, Q), не является свидетельством слабости границы. Согласно (6.9.39) он равен показателю в экспоненте вероятности появления пакета ошибок декодирования длины 1. Так как число последовательностей, отличающихся от и только в данном подблоке, равно 2h — 1, то эта экспонента не зависит от R.
На рис. 6.9.7 показатель экспоненты ?,0(1. Q) сравнивается с показателем экспоненты случайного кодирования Ет (R) для блоковых кодов. Представляется удивительным, что показатель экспоненты для последовательного декодирования больше чем Er (R). Отчасти это
303
объясняется тем, что ограничения на блок данных в сверточном коде простираются вне данного блока, а отчасти тем, что декодеру'разрешается проводить поиск во всем блоке (L + Lt — l)v принятых символов, прежде чем он примет какое-либо решение.
Юдкин (1964) с помощью более тонких методов, чем применявшиеся при выводе (6.9.43), получил верхнюю границу вероятности ошибки для последовательного декодирования при всех скоростях вплоть до пропускной способности, и его экспонента также представлена на рис. 6.9.7. Витерби (1967) недавно нашел ннжнюю границу минимальной вероятности ошибки, которая может быть достигнута для сверточных кодов, и график соответствующего показателя экспоненты также изображен на рис. 6.9.7. Заметим, что последовательное декодирование имеет вероятность ошибки с наилучшей возможной экспонентой при R^E0 (1, Q) и фактически наилучшую экспоненту при R, несколько меньших Е0 (1, Q), когда Wn также конечно.
Граница вероятности ошибки (6.9.40) не зависит от общей длины LT и поэтому нет необходимости периодически вставлять концевую последовательность при последовательном декодировании. Вместе с тем при практическом применении, особенно если L больше или равно 20, желательно выбирать Ьт конечным; это позволяет декодеру в тех редких случаях, когда поиск очень затягивается, считать принятый блок стертым и переходить к следующему блоку. Вероятность такого стирания, конечно, тесно связана с функцией распределения Wn.
6.10. КОДИРОВАНИЕ В КАНАЛАХ С ПАКЕТАМИ ОШИБОК
В предыдущих параграфах в основном рассматривались методы кодирования в каналах без памяти. В этом параграфе рассматриваются каналы с двоичными входными, и выходным алфавитами, в которых ошибки передачи имеют тенденцию к объединению в пакеты. Большинстводвоичных систем связи (за исключением космических каналов) ведет себя именно таким образом. Трудно найти вероятностные модели этих каналов, которые подходили бы для целей изучения в них кодирования. Недостаточно найти модель, которая описывала бы типичное поведение канала, поскольку при отклонении поведения канала от типичного любой разумный метод кодирования приведет к ошибке декодирования. Причинами нетипичного поведения канала служат различные редкие события, которые по своей природе затрудняют вероятностное моделирование. По этой причине не будем исследовать вероятность ошибки для различных методов кодирования в этих каналах, а найдем другие меры их характеристики.
Наиболее естественным методом кодирования, используемым в каналах с пакетами ошибок, является обнаружение ошибок и переспрос. В этом случае данные на выходе источника кодируются кодом с проверкой на четность (лучше всего, в силу простоты реализации, использовать циклический код). Приемник вычисляет для принятой последовательности синдром S и если S = 0, то считается, что информационные символы приняты без ошибок. Если8=^0, приемник запрашивает, чтобы передатчик повторил данное кодовое слово. При этом ошиб-304
ка декодирования произойдет только в том случае, если в передаче произойдут ошибки и последовательность ошибок совпадает с одним из кодовых слов. Для (N, L)-кода с проверкой на четность кодовыми словами являются лишь 2Ь последовательностей из общего числа 2N последовательностей длины N или лишь одна из каждых 2N~L последовательностей. Отсюда видно, что ошибками декодирования можно пренебречь уже при не слишком больших значениях N — L и что число ошибок декодирования слабо зависит от конкретной статистики шумов. Кодер и декодер для такого рода циклического кода могут быть реализованы при помощи регистров сдвига с (N — L) разрядами (см. рис. 6.5.5).
