Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рг [декодирования uc'+l+ il<Рг[I7+l_i>Гтг„ — Д]. (6.9.34)
Согласно лемме 6.9.4 с + L — 1 подблоков кодовой последовательности, соответствующей последовательности u'c+l—i, статистически не зависят от переданной последовательности и поэтому из леммы 6.9.3 вытекает
Рг [декодирования uc.'+/._1]<(c + L)x
Хехр
A._v(c + L_1)go(i,QL+B
2 ’ 2
(6.9.35)
при В Е0 (1, Q). Так как число способов выбора , соответ-
ствующих пакету ошибок в промежутке от 1-го до с-го подблока, меньше чем 2Хс, то получим
Pe(l.c)<2Xc(c + L)exp — v(c + L—1)?°(1’ Q)+-
2
. (6.9.36)
Теперь найдем эквивалентную границу для Ре(Ь, с) при произвольных 1. Рассмотрим некоторый конкретный код ансамбля; обозначим через и переданное сообщение, а через х — переданную кодовую последовательность. Пусть u^_i первые b — 1 подблоков произвольной последовательности сообщения, удовлетворяющей условию u'b—i = ub — i при l ^i^min'(&—1,-L—’1).* Рассмотрим потомков u*_i в дереве принятых цен. Один из путей потомков, выходящий из u*_i, соответствует подблокам переданного сообщения иь, иь +1, ... Кодовая последовательность, соответствующая u*_i,
иь, иь~|-1, ..., совпадает в 6-м, (Ь + 1)-м, ... подблоках с кодовой последовательностью, соответствующей переданной последовательности сообщения и, так как в регистре сдвига, порождающем кодовые последовательности, в обоих случаях будут храниться одни и те же символы. Поэтому изменение вдоль пути цен от узла и'ь — \ до потомка и'ь—I, иъ, Ui совпадают с Гг — Г*_1 (изменением вдоль пути цен
ОТ UДО U;).
301
Пусть Uc+z._i—какой-либо потомок и'ь-\, лежащий на глубине в с + L — 1 подблоков, и пусть Гс-\-l— 1 — П_1 — изменение цены при переходе в дереве принятых цен от узла и'ь—i к Чтобы
декодировать узел необходимо произвести в нем, по крайней
мере, /-проверку, а для того чтобы провести в этом узле F-проверку, необходимо, чтобы
1 — Г&_1 > min (Г,—Гь_!)—Д. (6.9.37)
b—l^l^LT+L— 1
Справедливость этого следует из того, что в противном случае последовательность иъ, «й + ь ... не даст возможности понизить порог
настолько, чтобы была возможна F-проверка u^+l- ь Если декодирование Uc-i-l— 1 приводит к пакету ошибок в промежутке от Ь-го до с-го подблока, то необходимо, чтобы и'сфис и u'c+i = ис-|_г при —1. Поэтому последовательность и'ь, ..., содержа-
щая пакет ошибок декодирования в промежутке от b-то до с-го подблока, может быть выбрана менее чем 2^f__i+I) способами. Наконец, выполнение неравенства (6.9.37) для некоторой выбранной подпоследовательности зависит лишь от кодовых последовательностей, начинающихся с Ь-го подблока, и не зависит от выбора и'ь-i [удовлетворяющих ограничению, состоящему в том, что — иъ-i для l^t'^ ^ min (Ъ— 1, L— 1)]. Поэтому вероятность появления пакета ошибок декодирования в промежутке от 6-го до с-го подблока ограничена сверху вероятностью того, что неравенство (6.9.37) не выполняется при всех рассмотренных выше способах выбора и’ь, ..., «с+l— i; число этих способов меньше чем 2X(c—i+1). Так как эта вероятность не зависит от и'ь-i, удобно выбрать и'ь-\ =
В ансамбле кодов подблоки от Ь-го до (c + L— 1)-го кодовой последовательности, соответствующей какому-либо из рассмотренных выше узлов uJ+l-i, статистически не зависят от подблоков от 6-го до (LT + + L — 1)-го кодовой последовательности, которая соответствует последовательности и (см. лемму 6.9.4). Поэтому согласно лемме 6.9.3 имеем при В^Е0( 1, Q)
Рг^Г^-Г^К min [гг-Гь_1]-Д}<(с + 1-&+1)Х
4—k;<Lt—L—1
X ехр
— — v(c + L — Ь) g°_Qi_Q)_+g 2 2
Pe(b, c)^2Uc~b + l)(c + L-b+l)
X
Хехр
Ео (1> Q) + В
(6.9.38)
(6.9.39)
Подставляя (6.9.39) в (6.9.33) и суммируя по b и с, получаем гра* ницу вероятности ошибки на подблок. Далее можно получить верхнюю границу, суммируя по b от — оо до п и по с от п до оо; эти суммы можно вычислить согласно формуле суммы геометрической прогрессии 302
(6.9.19) и ее производной (6.9.20). В результате при г < 1 [см. (6.9.42)1 имеем
?о(1, Q) + B
! А ехр
Л = 2"еЛ/2
г 2хехр
— vL ¦
L
2
________ 1 + г
(1-2)» ^ (1-2)4 ?о(1. Q) + S
(6.9.40)
(6.9.41)
(6.9.42)
Заметим, что минимум границы (6.9.40) по В ^Е0( 1, Q) достигается при В — Е0 (1, Q). Обозначим также через R = (к/v) In 2 скорость источника в натуральных единицах на символ канала для первых
Рис. 6.9.7. Сравнение показателя экспоненты последовательного декодирования ?о(1> Q) с показателем экспоненты блокового случайного кодирования; кривая Y является графиком показателя экспоненты в верхней границе Юдкина для Ре при последовательном кодировании; кривая V — график показателя экспоненты в нижней границе Витерби для Ре сверточных кодов.
