Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
245
ко тогда, когда г (D) является нулевым многочленом. Поэтому Р (а) = = 0 тогда и только тогда, когда fa (D) является делителем Р (D). Наконец, если Р (D) является нормированным многочленом той же самой степени, что и fa (D), то равенство Р (D) = /а (D) h (D) выполняется лишь при h (D) = 1, что доказывает единственность /а (Z)). |
В доказанной выше теореме утверждение о неприводимости многочлена /а (D) означает, что над полем Е не существует многочленов меньшей степени, произведение которых было бы равно /а (D). Если интерпретировать fa (D) как многочлен над GF (q), то D — а является очевидным делителем fa (D).
Следствие. Пусть Е — подполе поля Галуа GF (q) и пусть /х (D), ..., fi (D) — различные минимальные многочлены над Е, соответствующие ненулевым элементам GF (q). [т. е. последовательность fa (D)> faq-i (D), из которой исключены одинаковые многочлены]. Гогда
L
П f,(D). (6.6.3)
?= I
Заметим, что соотношение (6.6.1) описывает разложение Dq~y — 1 на неприводимые многочлены над GF (q), а (6.6.3) — на неприводимые многочлены над Е.
Доказательство. Так как ненулевые элементы из GF (q) являются корнями D1?"”1 —• 1, то каждый минимальный многочлен является делителем D^1 — 1. Поскольку минимальные многочлены неприводимы
L
(над полем Е), то произведение П ft (D) также является делите-
;= 1
л ем D'7“1 — 1. Наконец, все ненулевые элементы GF (q) являются корнями многочлена П/г- (D).
/= I
Следовательно, указанное выше произведение имеет степень, не меньшую q — 1, и (6.6.3) выполняется. )
Теорема 6.6.4. Пусть а — примитивный элемент поля Галуа GF (q) характеристики р и пусть степень минимального многочлена f (D) над GF (р) элемента а равна п. Тогда число элементов в поле Галуа равно рп и каждый элемент поля р может быть представлен в виде
Р 1 ct11- 1 -j- in_2 ctn~2 -)- ... -)- ij a -)- i0 (6.6.4)
при некотором наборе целых элементов поля i0, ix, ..., \n_i.
Доказательство. Так как а является корнем / (D) = Dn +
1 1 + ... +/0, то имеем an + fn^i ап-1 + ... +f0 = 0, или
П — I
an=— S и“г- (6.6.5)
I— о
Поскольку каждый из коэффициентов /г является целым элементом 246
поля, то нетрудно видеть, что элемент ап может быть представлен в виде (6.6.4). Умножая (6.6.5) на а, получаем
п— I
ап+> = — 2 (6.6.6)
»=о
В силу того, что ап можно представить в виде (6.6.4), an+> также можно представить в таком виде; последовательно умножая (6.6.6) на более высокие степени а, убеждаемся, что все степени а могут быть представлены в виде (6.6.4). Поэтому каждый элемент GF (q) может быть представлен в виде (6.6.4). Теперь допустим, что имеются два различных множества целых элементов поля, входящих в (6.6.4), например •п-i, •••. Jo и jn-i. •••> jo. которые соответствуют одному и тому же элементу из GF (q). Тогда
0 = (irt_ 1—j/г— i) 1 + ••• + Oi— ji)o?~)rOo— jo)- (6.6.7)
Отсюда следует, что а является корнем многочлена
On-1 —U- i) Dn~ ' + .-¦ + Оо—Jo).
что невозможно, поскольку степень этого многочлена меньше п. Поэтому каждый из наборов ..., i0 соответствует различным элементам поля и так как существует всего рп таких наборов целых элементов поля, то q — рп. |
Эта теорема имеет ряд интересных следствий. Во-первых, поскольку характеристикой всякого поля Галуа является некоторое простое число р, то число элементов во всяком поле Галуа должно представляться в виде q = рп, где р — некоторое простое число, а п—некоторое целое число. Далее, если в соотношении (6.6.4) заменить а на не определенную t, то можно убедиться, что множество элементов поля может рассматриваться как множество многочленов над GF (р) степени, не большей п— 1с умножением по модулю / (t). Другими словами, это поле после введения в нем новых обозначений элементов будет совпадать с полем многочленов над GF (р) по модулю / (t) (т. е. будет иметь то же самое множество элементов и те же самые правила сложения и умножения). Два таких поля, отличающиеся лишь обозначениями элементов, называются изоморфными-, из приведенных рассуждений следует, что всякое поле с рп элементами изоморфно некоторому полю многочленов над GF(p) по модулю'некоторого неприводимого многочлена степени п. Наконец, согласно (6.6.3) из единственности разложения многочлена Z>'!—1 — 1 над GF(p) на неприводимые множители следует, что всякое поле с рп элементами имеет одно и то же множество минимальных многочленов. Поэтому в любом поле с рп элементами можно выбрать в качестве а корень фиксированного многочлена / (D), использованного в теореме (6.6.4), и представить все элементы поля в виде (6.6.4). Таким образом, доказана следующая теорема.
