Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6.6.1. Любое поле Галуа содержит примитивный элемент.
Доказательство. Пусть максимальный мультипликативный порядок ненулевых элементов поля GF (q) равен т. Из теоремы 6.3.3. следует, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный порядок, который является делителем т, и поэтому этот элемент является корнем Dm — 1. Так как этот многочлен имеет q — 1 корней, то имеем m^q—1. Поскольку согласно (6.6.1) каждый ненулевой элемент поля имеет мультипликативный порядок, на который делится число q — 1, то т ^ q — 1, что завершает доказательство, j
Доказанная выше теорема в принципе полностью характеризует мультипликативную группу ненулевых элементов поля Галуа, однако она ничего не говорит о структуре аддитивной группы или о связи между умножением и сложением. Ниже эта связь будет найдена и показано, что все поля Галуа могут быть представлены как поля многочленов по модулю неприводимого многочлена. Прежде всего определим подполе некоторого поля как поле, элементы которого образуют подмножество элементов первоначального поля с операциями сложения и умножения, совпадающими с операциями первоначального поля. Если какое-либо поле F имеет подполе Е, то говорят, что F является расширением Е.
Теорема 6.6.2. Любое поле Галуа содержит единственное подполе, число элементов в котором простое.
Доказательство. Любое подполе должно содержать элементы поля 0 и 1. Оно должно также включать в себя 1 + 1, 1 + 1 + 1, и т. д. Обозначим эти получающиеся при сложении элементы через 2, 3,
4, ...; из теоремы 6.3.2 следует, что эти элементы, называемые целыми элементами поля, образуют циклическую подгруппу по операции сложения. Если эта подгруппа имеет р элементов, то сложение этих элементов является сложением по модулю р. Согласно дистрибутивному закону умножение этих элементов также является умножением по модулю р [т. е. 2-3 = (1 + 1)-3 = 3 + 3 = Rp (6)]. Отсюда следует, что число р простое, поскольку если бы р было произведением двух целых чисел i > 1 и / > 1, то для соответствующих им целых элементов поля удовлетворялось бы равенство i-j = 0. Это невозможно, так как i и j — ненулевые элементы первоначального поля. Как было показано, целые по модулю простого числа элементы образуют поле, поэтому это поле как раз и является тем подполем, которое разыскивается. На-244
конец, любое другое подполе должно содержать эти целые элементы поля, а аддитивная группа любого подполя должна содержать эти целые элементы как подгруппу. Поэтому число элементов в любом другом подполе делится на р и потому не является простым. |
Из этой теоремы непосредственно следует, что любое поле или подполе о простым числом элементов является при соответствующей нумерации элементов полем целых элементов по модулю простого числа. Характеристикой р поля Галуа называется число элементов в определенном выше простом подполе.
Если Р (D) = Р0 + PxD + ... + PnDn — многочлен над полем Е и если поле F является расширением Е, то говорят, что элемент а из F является корнем многочлена Р (D), когда Р (а) = 0, т. е. когда
2Р,«‘ = о.
i
В качестве часто используемого примера укажем, что привычно находить комплексные корни многочленов над полем действительных чисел. Если Е является подполем поля Галуа F, то минимальный многочлен fa (D) над Е элемента а, принадлежащего F, определяется как нормированный многочлен минимальной степени над Е, у которого а является корнем. В дальнейшем во всех случаях, когда подполе явно не определено, мы будем иметь в виду подполе с простым числом элементов, фигурирующее в теореме 6.6.2.
Теорема 6.6.3. Для любого подполя Е поля Галуа GF (q) каждому ненулевому элементу а, принадлежащему GF (q), соответствует единственный минимальный многочлен fa (D) над Е, причем fa (D) — неприводимый. Более того, для любого многочлена Р (D) над Е многочлен fa (D) является делителем Р (D) тогда и только тогда, когда а является корнем Р (D).
Доказательство. Было уже показано, что а является корнем D4—1 — 1. Так как D4~l — 1 можно рассматривать как многочлен над Е, то отсюда следует существование таких многочленов над Е, для которых а является корнем, и, следовательно, существует некоторый нормированный многочлен минимальной степени, обозначаемый fa (D), для которого а является корнем. Если бы fa (D) был приводимым, то он мог бы быть представлен в виде произведения двух нормированных многочленов меньшей степени над полем Е, т. е. fa (D) = = g (D)h (D). Отсюда следует, что g (a)h (а) = 0, и так как g (а) и А (а) — элементы, принадлежащие GF (q), то один из них должен быть равным 0, что противоречит предположению о том, что fa (D) имеет минимальную степень. Поэтому fa (D) неприводим. Тогда для любого Р (D) над Е
Р (D) = fa (D)h (D) + г (?>), (6.6.2)
где г (D) — многочлен над Е, степень которого меньше степени7а (D). Так как fa (D) == 0, то Р (а) = г (а). Поэтому Р (а) = 0 тогда и только тогда, когда г (а) = 0. Но поскольку степень г (D) меньше, чем степень fn (D), то получаем, что г («) ’= 0, в свою очередь, тогда и толь-
