Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно доказать теорему 6.3.1. Предположим, что группа G порядка п содержит подгруппу S порядка т. Если п > т, то выберем элемент группы G, не принадлежащий S, и образуем правый смежный класс. Подгруппа и смежный класс вместе содержат 2т элементов; если п> 2т, то можно выбрать другой элемент в G, не принадлежащий ни подгруппе, ни смежному классу, и образовать новый правый смежный класс, что даст нам в совокупности 3т элементов. Продолжая таким образом, в конце концов достигнем того, что все элементы G будут принадлежать либо S, либо одному из смежных классов; если кроме подгруппы существуют и смежных классов, то получим п = т (и + 1), что завершает доказательство. |
Циклические подгруппы
Пусть а — элемент конечной группы G. Рассмотрим последовательность элементов
а, а2, а3, (6.3.9)
где а2 означает а • а\ а3 означает а • а ¦ а и т. д. Так как группа конеч-
на, должны существовать два значения показателя степени i и /, / > г, для которых
а‘ — & = а‘-а?~1. (6.3.10)
Согласно (6.3.5) отсюда следует, что а>~‘ = е. Порядком элемента а
группы называется наименьшее положительное целое число т, для которого ат = е. Приведенные выше рассуждения показывают, что каждый элемент конечной группы имеет конечный порядок. Более того, элементы а, а2, ..., ат = е должны быть различными, поскольку равенство а‘ = а>, где / > i, может выполняться лишь при / — i ^ ^ т. Поэтому последовательность (6.3.9) степеней элемента а имеет следующее циклическое свойство:
а, а2, ..., ат = е, а, а2, ..., ат — е, а, ... (6.3.11)
Из (6.3.11) следует, что ап = е тогда и только тогда, когда п кратно т.
Теорема 6.3.2. Пусть элемент а конечной группы G имеет порядок т. Тогда элементы а, а2, ..., ат образуют подгруппу группы бит является делителем для порядка группы G.
Доказательство. Подмножество а, а2, ... ат содержит нейральный элемент е = ат. Тогда для любого а1, принадлежащего этому подмножеству, а‘ • ат~1 = ат = е, откуда следует, что каждый элемент подмножества имеет обратный элемент в том же подмножестве. Для завершения доказательства необходимо показать, что если а1 и а> принадлежат подмножеству, то этому подмножеству принадлежит и а1 •ai. Имеем а‘ • а> = аг+> и при г -f jk^m произведение а1-а> принадлежит подмножеству. Если i -f-/ > т, то имеем ai+i = ат • а‘+>~т = = a‘+i~т. Так как i + j—т ^ т, то а1 • ai принадлежит подмножеству. Поэтому это подмножество образует подгруппу порядка т. Из теоремы 6.3.1 следует, что т является делителем порядка группы G. |
Группа или подгруппа называется циклической, если в этой группе или подгруппе существует элемент, степени которого образуют всю группу или подгруппу. Поэтому подгруппы, входящие в формулировку теоремы 6.3.2, являются циклическими.
Следующие результаты, касающиеся порядка элементов конечной абелевой группы, будут использоваться в § 6.6.
Лемма. Пусть а — элемент порядка т и b — элемент порядка п в абелевой группе. Тогда, если тип взаимно простые*), то порядок элемента а • b равен тп. ____________
*> Два положительных целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, т. е. разложения этих чисел на множители не содержат ни одного общего множителя, большего 1.
228
Доказательство. Имеем
(а ¦ Ь)тп = (ат)п • (Ьп)т = е. (6.3.12)
Поэтому, обозначив порядок элемента а • b через /, получим I ^ тп. Кроме того,
е = (а • b)ln = atn ¦ (bn)l = aUl. (6.3.13)
Отсюда следует, что In кратно порядку т элемента а. Так как тип взаимно простые, то I кратно т. Поменяв ролями т и п в приведенных выше рассуждениях, получим, что I также кратно пив силу того, что тип взаимно простые, I ^ тп, что завершает доказательство.|
Теорема 6.3.3. Пусть m — максимальный порядок элементов конечной абелевой группы. Тогда т кратно порядку каждого элемента группы.
Доказательство. Пусть а—элемент максимального порядка т и пусть п—порядок какого-либо другого элемента Ь. Обозначим через Ръ Р2. •••> Рг все простые числа, которые служат делителями либо для т, либо для п, и представим т и п в виде
т — р™1 р™2 ¦¦¦ Р™г , (6.3.14)
n = pnip^...pnrr , (6.3.15)
где тг, ..., тг и пъ ..., пг — целые неотрицательные числа. Если т не кратно п, то для некоторого i, 1 i ^ г, должно выполняться Ш > тг. Пусть далее для любого / через aj обозначен элемент порядка pmi (такой элемент равен а в степени mlpfi). Аналогично, пусть bi
есть элемент порядка р?к Рассмотрим теперь элемент с = ах ¦ а2 ... at_x • brai+1 ...ar. Последовательно применяя предыдущую лемму при каждом включении нового сомножителя в это произведение, убеждаемся, что с имеет порядок тр^ЧрГ1 > т. Это привело к противоречию, поскольку т равно наибольшему порядку элементов; поэтому m кратно п.|
