Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
N
П яг(г„. s)exp [S2n, 5 —[i(s)].
Поэтому
N
zl, s ZN, s n= 1
zl. s ZN, s n
той же самой областью суммирования по zillS. Теперь получаем Qw. s(u>s)~Pw(ws)exР —¦W[x (s)].
(5A.9)
yVfi'(s) = A.
(5A.10)
Pr [w > yVji' (s)] = 2
W Nu'fs)
W > N\x'{s) — qN [Ц (s) —S|X'(S)]
ws > Nn'(s)
Ws n (Л
205
ws ведет себя существенно отличным образом; интервал между соседними принимаемыми значениями становится все меньше и меньше с ростом N.
Для решетчатого распределения с шагом h соответствующая предельная теорема** утверждает, что в точках решетки
<rVWE[N)' (5АЛ2)
h ——Nfi" (s)]'2
7w's {Ws)~ тщщ'exp sivti)
где e(iV) не зависит от выборочного значения ws и
lim е (N) = 0.
N -+оо
Другими словами, Qw,s(ws) приближенно равно расстоянию между точками решетки h, умноженному на плотность гауссовского распределения с тем же самым средним значением и дисперсией, что и у ws.
Так как представляют интерес только значения ws, очень близкие к среднему значению, то можно использовать неравенства 1 > е~х >1 — х, чтобы получить из (5А.12)
Qw, s (41)s)
1 h [ws — Nu." (s)]2
< \ТтГе W + о1/^Ь2-Г,1;!з72- • (5A. 13)
V2лNfi* (s) YN K 1 2 У'2лЛ?3/2 [n"(s)]3/2
Для того чтобы найти сумму в (5А. 11), заменим вначале Qw,s на hlY%nN\i"(s). Обозначим через Д расстояние между vV|x'(s) и первым значением, принимаемым ш5, которое входит в сумму. Будем иметь после этого
h
ехр {— s -A^n'(s)]} =
wg> Лц' (s) 1/2пЛ,[х'' (s)
h e~sA h e~sA
= - - - —[l+e-^ + e-^i ...] = —- ----------•. (5A.14)
T/2n^n"(s) V2N\i"{s) (1 — e~sh)
Аналогично можно умножить оба слагаемых для ошибки в (5А.13) на ехр —• s[ws — jVh'(s)] и провести суммирование по значениям ws > Nfi'(s). Первая сумма стремится к нулю быстрее, чем 1 lYN при N-ь-оо, а второе выражение стремится к нулю как N~s^. Объединяя (5А.13) и (5А.14), в результате получаем
S Qv. s (ws) ехр {— s [ws—Nn'(s)]} =
ws > A’M'(S)
he~SA _
= —-----------------------------------------------+o(llYN), (5A.15)
. y2N\i"(s) (1—e-5*)
гдео(1/|^N) стремится к нулю при N-> оо быстрее, чем 1/ У N. Используя (5А.15)
совместно с (5А.11), получаем окончательный результат для решетчатых слу-
чайных величин
= ехр {jV[h(s)-V («))}
Рг [w > N\if(s)] =
h p _____________________
-7. ----------— + oU/Vn)
Y2Nll”(s)(l—e-sh)
(5A.16)
Равенство (5A.16) справедливо при всех s!> 0, но, как можно заметить, рассматривая второе слагаемое для ошибки в (5А.13), сходимость по N становится мед-
*> См. Феллер (1966), т. 2, гл. XV, § 5.
206
леннее, когда s принимает Значения, более близкие к нулю. Заметим, что для заданного s значение Д изменяется с N, но всегда, конечно, лежит в пределах
О < Д < п.
Оценим теперь (5А. 11) в нерешетчатом случае. Сумма в (5А. 11)) может быть «проинтегрирована по частям», что даст
2 Q®, s М ехр {— s[ais — A/jx'(s)]} =
a>s > ATn'(s)
ОО
= j S {^(“'s)— -FfAVOO]} exp {— s [o;s—(s)]} dws, (5A.I7)
®s = ^'(s)
где
F(®s) = Qw,s(w)
w < ws
—функция распределения ws. Теперь пусть u = [ws— jV[i'(s)]/yjV[i"(s) является нормированной случайной величиной, соответствующей ws, и пусть G(u) будет функцией распределения и. Правая часть (5А.17) может быть записана в виде
ОО
s /^"(s) j [G (ы) — G(0)]exp[ — sYW^)u\du. (5A.18)
о
Соответствующая этому случаю центральная предельная теорема утверждает, что*>
(5АЛ9)
где
и
1
Ф(«)= j
V2j
е~хг/2 dx, (5А.20)
Ц2 - (гП, S S)3> ЦЗ - (Zn, S гТ1, s)3
