Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2еР = 0, ±1, ±2, ..., (4)'
представляющему собой условие Дирака квантования магнитного заряда. При его выполнении «струна» ненаблюдаема в экспериментах с полем г|х Альтернативное обоснование условия квантования (4) магнитного заряда основано на наблюдении, что элект- § 18. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
217
ромагнитное поле дайона (частицы, обладающей электрическим е и магнитным P зарядами) имеет собственный момент количества движения еР [248], квантование которого приводит к условию (4) [249]. Если формулировать теорию на языке геометрий расслоенных пространств, то можно избежать введения дираков-ской струны в классическом описании магнитных монополей [250]. В этом подходе дискретность магнитного заряда также возникает в результате квантования.
Согласно современной точке зрения, электродинамика как калибровочная теория с группой U(I) является составной частью теории с более широкой группой калибровочной симметрии. При погружении U(I) в связную компактную группу, например SU (2), монопольное решение можно сделать не имеющим особенностей типа дираковской струны. Квантование магнитного заряда в этом случае будет иметь место по топологическим причинам, если группа, в которую погружается U(I), полупроста і[251 ].
«Цветные» черные дыры
Рассмотрим некоторую алгебру Ли, порождаемую набором эрмитовых матриц Ta (a=l .. .N), удовлетворяющих перестановочным соотношениям
.[Та, Tb] =ICcabTс, (5)
где Ссаь =—Ccьи — структурные константы. В соответствии с калибровочным принципом будем считать, что эта алгебра задает группу локальных преобразований симметрии для некоторого поля -ф, преобразующегося по одному из неприводимых представлений группы
ф(х)->{/(х)ф(х), U (X) =ехр (-ICO0(X)T0), (6)
где параметры со0 зависят от пространственно-временных координат. Пусть V1I — оператор ковариантного дифференцирования (в •смысле метрики пространства-времени) поля я|з(х). Тогда оператор
Dli=V^ieAll(x), (7)
где Asi(x) — элемент алгебры Ли (поле Янга — Миллса)
All=AfTa, (8)
при калибровочном преобразовании (6) будет изменяться по закону
D11-^U (X) D11U+(х), (9)
если калибровочное поле A11 преобразуется согласно правилу
All-+U (х) AvU+ (X)-L U+ (X). (10)
Введем соответствующий полю A11 тензор напряженностей как 218
ГЛАВА VII
МАССИВНЫЕ ПОЛЯ ОКОЛО ЧЕРНЫХ ДЫР
коммутатор (рассматриваемый на множестве пространственно-временных скаляров) производных (7)
P^ = -ID11, Ai] = VmAU Vv^H + 16 Ии> АЛ. (H) или в компонентной записи Fliv=FllvaTa, где
^V = VliA-VvA-еЯсАІЛ. (12)
Тензор Fllvt очевидно, преобразуется при локальном преобразовании (6) как оператор D11, т. е.
Fiiv-^U(X)FllvU+(X). (13)
Замена в лагранжиане Эйнштейна — Максвелла электромагнитного поля набором безмассовых калибровочных полей Ftlv0' приводит к калибровочно-инвариантному лагранжиану
X=-^(R + yabFUFb»\ (14)
Ibn
где Yob — инвариантная метрика на группе внутренней симметрии. Варьируя лагранжиан (14), получаем калибровочно-инвариантные уравнения поля
VvFotlv = eCbcFb^A% (15)
и уравнения Эйнштейна, содержащие в правой части тензор энергии импульса поля Янга — Миллса
TVv= -?- . (16)
Для компонент дуального тензора Faliv=iI2^—в отличие от случая электродинамики, уравнения также неоднородны
VvFa?v = eCabcFbilvAcv. (17)
Нетрудно заметить, что если выбрать потенциалы Aall «параллельными» во внутреннем пространстве, т. е. Aall=^aAll, где коэффициенты ?° не зависят от координат, то выражение (16) сведется к тензору электромагнитного поля A11, умноженному на постоянную Yob?°?6. которую можно положить равной единице. Одновременно в формулах (15) и (17) обращаются в нуль нелинейные члены в правых частях (поскольку Clc= —С%) и уравнения поля Янга — Миллса становятся линейными и совпадающими с уравнениями Максвелла без источников. Поэтому решение системы уравнений Эйнштейна — Янга — Миллса с «параллельными» воі внутреннем пространстве полями всегда можно построить, если: § 18. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
219
известно соответствующее решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла [252]. Таким путем строятся решения, описывающие «цветные» черные дыры [33]: метрика совпадает с метрикой Керра — Ньюмена (1.1) с точностью до замены
Q2^yabiQaQb +PaPb), (18)
где Qa и Pa — цветовые электрические и магнитные заряды, а поля Янга — Миллса задаются 1-формами
Aa = Aail dxм- = Q°r~aP° (dt—a sin2 6 dtp) + Pa cos 6 dtp. (19)
Это решение, как и его максвелловский прототип (1), имеет особенность в виде струны Дирака. Аналогичные решения можно построить при отличной от нуля космологической постоянной [253].
Черные дыры By — Янга
By и Янгом [254] было показано, что для системы уравнений Янга — Миллса — Хиггса со спонтанно нарушенной группой внутренней симметрии SU (2) существуют решения, которые в электромагнитном секторе описывают точечный» магнитный монополь (дай-он), однако без дираковской струны. Эти решения допускают обобщение на искривленное пространство-время [265—260]; соответствующая метрика совпадает с метрикой Керра — Ньюмена [258— 259], возможно также включение параметра Томимацу — Сато [260] и т. п. Как известно, сингулярные решения By — Янга послужили прототипом регулярного монопольного решения Полякова [261] — т'Хоофта [262] и соответствующего дайонного решения Джулиа — Зи [263]. Регулярные решения также обсуждались с учетом влияния гравитации [264—266], соответствующие поправки малы [264], если масса монополя не близка к планковской. Сингулярные же решения при учете гравитации изменяются существенно — особенность оказывается скрытой за горизонтом событий.
