Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
В нерелятивистском случае coM-~QM<Cl и основной вклад вносят слагаемые с /=1, т=± 1; при этом решение уравнения (45) в области cor<Cl, сшитое с асимптотическим решением (50), имеет следующий вид:
иа1т(г) = 2-^г*МСа1т. (52)
О
Подставляя (52) в (46) и учитывая, что производные •dSim/dQ обращаются в нуль при 0 = я,/2 для т=± 1, в результа- § 17. ИНДУЦИРОВАННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
211
те усреднения квадратичных комбинаций компонент силы в соответствии с формулой (18) найдем
</+ ((0', т') Jr (со, т)) = (Clm-Ctolm) =
О
= ~-6mm'6((0— (Ht)Ivn (со) (53)
О
и аналогичные соотношения для других компонент. Сопоставляя полученные выражения с определением корреляционного тензора (18), найдем
Irr {а, т) = ~/1т(со); I94(а, т) = ~Ilm(со);
О О Г
/еек = ?)2/im(®); /гф= —i'/n-j-y/іт(®)- (54)
Предположим, что спектральное распределение интенсивности падающего излучения имеет лоренцеву форму
Am (м) = Zjm-—-, (55)'
JmV / ((O-O)0)2 + (До))2 V '
где coo — положение максимума, a Aco — ширина линии падающего излучения. Если величина Aco меньше расстояния между резонансами (31) — (37), так что перекрытия не происходит, то в случае близости соо к одной из резонансных частот Й(_)г и будет иметь место «чистое» поглощение, а для частот ?(-V, Q(_)e — усиление волн. Коэффициенты поглощения (усиления) получим, подставляя (54) в (27) и далее в (41). Результирующие выражения для радиальных и аксиальных резонансов (т=±1) имеют вид
km (со оо Q**') = ± -V- 56>
тК ' 3fiUOQy0 I 31 ^0 Q J (ш —¦ Q^. ')2 + V2 V '
km (со Q^) = =fc ( ^ - й V-^-. (57)
mV o ' Зци°Йе V 2 ) (со — Q<±>)» + v* v ;
§ 17. ИНДУЦИРОВАННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Взаимодействие пробной частицы в поле Керра с гравитационными волнами
Взаимодействие пробных тел, движущихся по круговым орбитам в поле Шварцшильда или Керра, с гравитационными волнами может иметь характер отрицательного поглощения. Для расчета эффекта нужно рассмотреть вынужденные колебания проб- 212
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
ной массы под действием поля гравитационных волн, фазу которых будем считать случайной величиной.
Представим метрический тензор в виде g^ = g® + Hliv, где Sw— метрика фонового пространства-времени, Zi11., «Cl — добавка, описывающая поле (слабых) гравитационных волн. Линеаризованное по Ziliv уравнение движения частицы имеет вид
D< 0) dxV- d2xV- (O)11 dxa djc? dxa djc?
—--— —+ ra?—--—-= — ОГар—--—, 1)
ds ds ds1 ds ds ds ds
где поправки к символам Кристоффеля равны
і (0) (0) 6ra? = -L^V(Ava.?+Av?.a-Aa?.v)-AWrva?. (2)
Ввиду малости Zitiv ищем приближенное решение (1) в виде
(S) = 2^ (S)+ ^ (S), (3)
выбирая в качестве новозмущенной траектории окружность в плоскости 6 = я/2, т. е.
(0)
z» (s) = u^s, иУ- = U0 (1, О, О, (o0). (4)
В дальнейшем индекс нуль у величин, относящихся к фоновой метрике, будем опускать.
Переходя к параметру t, связанному с is соотношением dt/ds = = u0 в линейном по приближении, получим систему уравнений, »совпадающую с (16.1) — (16.2), причем
f» = (и»)"2, vi1 = 2rV ("°Г\ U* = Y Yv"V • (5)
Рассмотрим вынужденные колебания частицы под действием гравитационных волн (ГВ). Представим поле ГВ в виде разложения
03
V= Tdw E О, Є)ехр(і(/Яф—Orf)), (6)
—op т=—оо
а поправки — с помощью фурье-преобразования (16.8). Решение системы имеет вид (16.11)-(16.13), где под /"то следует понимать
яг=/С+"VC; Gma= нг + щНТ.
(7)
Сечение отрицательного поглощения
В результате воздействия на систему гравитационных волн резонансных частот энергия системы будет претерпевать системати- § 17. ИНДУЦИРОВАННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
213
ческое изменение. Будем считать гравитационные волны имеющими случайные фазы и усредним квадратичные комбинации величин Ziflv по фазам
где /„,и — корреляционная функция.
Вычислим изменение полной энергии пробного тела в результате взаимодействия. Используя уравнение (1), можно получить соотношение
в котором величины в правой части берутся на невозмущенной траектории и подразумевается усреднение по фазам ГВ. Подставляя в (9) решения (16.11) — (16.13) и учитывая (8), найдем для случая фоновой метрики Керра
+ 4(G^G.B>-co^?6'(<om) + Im(2^G.B^?- — G:r\ o(<om)l, (10) 2 \ сOr I та> )
где t,AB=gAB—YAiY?iG)r-2, б' — производная от б-функции.
Характерной особенностью этого выражения является наличие знакоопределенных слагаемых, соответствующих радиальным и аксиальным резонансам. Заметим, что вклады аксиальных резо-нансов в случае метрики Шварцшильда должны быть в общем энергетическом балансе объединены с вкладом орбитального резонанса.
Как видно из формулы (10), на частотах радиальных резонан-сов Q,- = mm—ov производная dE/dt отрицательна [236], т. е. система теряет энергию и происходит усиление гравитационных волн. В случае нерелятивистского движения взаимодействие наиболее эффективно на частоте С0г=2(0о—сог. Эффективное сечение отрицательного поглощения плоской гравитационной волны с поляризацией ® (<g>), распространяющейся под углом 9о к оси z, .оказывается равным
