Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты усиления в нерелятивистском случае
Для нерелятивистских частиц в сумме по т в (27) существенны лишь основные слагаемые с т = ±1. Рассмотрим этот случай более подробно, предполагая, что движение происходит в поле Керра и внешнее магнитное поле отсутствует. Как следует из изложенного в § 3, в поле Керра существуют устойчивые круговые орбиты нерелятивистских частиц, причем угловые скорости движения частиц в направлении вращения дыры (прямые орбиты) и в противоположном направлении не совпадают. Будем считать, что для прямых орбит Q>0, для обратных — ?<0. Тогда резонансный режим взаимодействия частиц и волн может иметь место при различном соотношении между знаками т и Q. Очевидно, возможны следующие комбинации: a) Q>0, т= 1 — движение частицы и вращение фазы волны происходит в одном направлении, совпадающем с направлением вращения черной дыры; б) Q<0, 208
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
m = — 1 — частица и фаза волны вращаются в сторону, противоположную направлению вращения дыры; в) Q>0, т = — 1 — вращение частицы прямое, фаза волны вращается в противоположную сторону; г) ?<0, т= 1 — вращение частицы обратное, фазы волны прямое.
Рассмотрим резонансы на смещенных частотах (16), соответствующие возбуждению аксиальных колебаний. В этом случае прямому вращению соответствует частота аксиальных колебаний, по абсолютной величине меньшая частоте обращения, в случае же обратного вращения частицы частота колебаний оказывается больше частоты обращения. С помощью формул (3.18) и (3.83) нетрудно установить, что в случае а) имеет место поглощение на частоте
Qs
1 +aQs и усиление на частоте
Q5
1 + aQs
+ (l-4flfis 1 — (l—4afis
3a2 \ 1/2
T2
За2 \ 1/2
(31)
(32)
Случай в) оказывается нерезонансным (нет положительной комбинации частот Q и йе), а в случаях б) и г) имеет место только поглощение; соответствующие частоты равны
й(е+) =
Qs
1
aQs
1 + AaQs +
За2 \ 1/2 /
=F 1
(33)
Перейдем теперь к радиальным резонансам (15). Поскольку частота Qr по абсолютной величине всегда меньше частоты обращения Q, то в случае прямого вращения имеют место поглощение на частоте
l + (l-6M
Й<+) =
Qs
1 + aQs
и усиление на частоте Qs
+ 8a?s
За2 \ 1/2
(34)
?><-> = -
1
1
6М
+ 8aQs
JSa2 Л 1/2
Ti
(35)
1 + аЙ
(случай а). В случае обратного вращения (г) резонанс на частоте
Q^ =
Qs
1 — aQs
1+1
6М
-8ай,
_3а2 \ 1/2
T2
соответствует поглощению, а резонанс на частоте
Q(r» =
Qs
1 — aQs
1-1-
6М
-8a Cl
За2 \ 1/2
(36)
(37)
— усилению волн. § 16. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 209
Введем в качестве характеристики падающего электромагнитного излучения спектральную интенсивность /(со), определив ее с помощью соотношения
03
/= ф -IL ( |ФІП|2) dQ = J/(co) da, (38)
r-»-oо 0
где Фо1п — скаляр Ньюмена — Пенроуза для падающих волн, интегрирование ведется по бесконечно удаленной сферической поверхности, скобками обозначена операция усреднения по фазам. В соответствии с разложением Фо по спиновым сферическим функциям для спектральной интенсивности /(со) имеем разложение
оо I
'H = E E 1Imi О)- (39)
I=I m=—
Выражение для мощности поглощения (27) было получено в виде ряда по азимутальному числу т и интеграла по положительной полуоси переменной со:
03 00
P= !i E PmNd®. (40)
О т=—оо
Можно поэтому ввести коэффициент поглощения волны с заданными значениями со и т исходя из соотношения
PmM= Y kim(a>)Itm(iО). (41)
Z=|m|
Для нахождения коэффициентов km (со) необходимо выразить компоненты корреляционного тензора Zliv(со, т) через спектральную плотность /(со). Ограничимся при этом случаем а=0, т. е. невра-щающейся дыры. Воспользовавшись результатами гл. II, представим радиальные функции іRim, 0Rim и _iRim, входящие в разложения Ф0, Фі и Фг, соответственно в виде
xRim = —Vw+J)_а, и (42) г
-1 Rim = ~ VW+T) SltUalm, (43)
О Rlm=-IiLtSLualm, (44) 210
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
где функция U (г) представляет собой решение дифференциального уравнения
J!_ + (o2_A/(/+l)j^m(r) = 0. (45)
Выражая компоненты тензора /„v через Фо, Фі, Фг по формуле (5.3), выражая спиновые сферические гармоники ±iS/m(0) через oSim (0) ^=Sim(0) согласно соотношениям (D.7) (D.8) и подставляя полученные выражения в формулу (3), для ковариантных компонент силы /„ получим
^0 V2 A где оператор g„(co, U т) имеет компоненты
?.(<», I, т) = (— mcoQ--/(/+1) WtQsinO---—, (47)
SrV ' ' ' \ д Г2 J двдг* v '
ge (et, l, tri) = (Q/ (/ + 1) sin2 6—mco) —-———---—, (48)
sin 0 dQ dr* ' v
I, = (cosine -L--Im J-}, (49)
и r* — «черепашья» координата.
Выберем нормировку решения Uulm (г) так, чтобы при г-»-OO падающая часть волны имела асимптотическое поведение
A (г-»- оо) = -у-==щ Calmсо-1 ехр (_lW)> (50)
где CaIm — случайные коэффициенты, нормированные условием (Clrm-Calm) = бтп-бц'б ((О —со') Lm (со) (51)
(формула (51) соответствует определениям (38), (39)). Тогда, подставляя разложения (46) для компонент силы в формулу (18), после усреднения найдем связь между компонентами корреляционного тензора Zliv(со, т) и величинами hm(со).
