Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мощность поглощения
Получим выражение для мощности поглощения волн частицами во втором порядке по случайному полю /ц,.
В искривленном пространстве времени, обладающем времениподобным вектором Киллинга можно определить полную работу, производимую полем /цч(х) под током j"(x), следующим образом:
л = Jziiv (X) Г (X) IwV^g #х, (20)
где интеграл вычисляется по соответствующему четырехмерному объему, Zv(х) — плотность тока (с учетом возмущений). В отсутствие корреляций между частицами (что будет далее предполагаться) мощность поглощения волн системой частиц можно получить интегрированием соответствующей величины для одной частицы по распределению частиц, поэтому достаточно вычислить величину (20) для отдельной частицы. В этом случае плотность тока имеет вид
Г (X) = ej«v(s)64(xa_xa(s))_^ (21)
где xa(s) — мировая линия частицы с учетом возмущений. Подставляя (21) в (20), получим полную работу А в виде
A = е ^fiw(X(S))IC (S)^ds, (22)
где величины под знаком интеграла по собственному времени бе-| § 16. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
205
рутся на возмущенной траєкторії» частицы xa(s) =za(s)+ga(s). Разлагая подинтегральное выражение по ga, в линейном приближении находим
А = е j" (Zllv (г is)) Г (s) + -^L ? {s) # (s) j ^ (23)
Воспользовавшись вытекающими из уравнений Максвелла соотношениями
Lor дх° д<р дх" дх° '
(24)
00 д<р дх° дх» "
•а также учитывая явный вид z"(s), преобразуем выражение (2? /к форме
dzf> ds
(?*• + Г в (f + Qf ) +
дх0 дх°
¦ +
5е (Zeo + ОД»)] А. (25)
'Определим мощность поглощения P как работу в единицу времени Z0 на невозмущенной траектории частицы. Тогда для величины Р, усредненной по фазам, из (25) находим
' P=tJA.\=ef^?hL\t (26)
\ dzf> J \ дх» /'
где /ц — ковариантная компонента силы (3), производная от которой должна быть взята на невозМущенной траектории. Выражение (26) определяет мощность поглощения зарядом электромагнитных волн со случайной фазой в низшем неисчезающем приближении теории возмущений.
Подставляя в (26) разложения Фурье (7), (8), с учетом (9) и явного вида решений (11) — (13|) получим для усредненной мощности поглощения следующее выражение:
GD СО
"-¦з-J S <» ->L -X;+ V-,.-^,.+v.)+
О
+ -2-\grr\ (Zw(ю, т)-J^--т)-Д Л +
Qrt*V '<(o-a<+>)"+v* V ' ' (ш - + V» ; 206
ГЛАВА VI
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН
X 1, (27)
[(ш — тЙ)3 + V2]3 J V ^
где введены следующие комбинации компонент корреляционного) тензора (18):
/(±) (со, tri) = /" (со, т) + Zw (со, m) ± Im Zrtp (со,, tri) (28) и обозначено
X = Yp-Qyr0. (29)
В этих формулах (как и ранее) опущена зависимость корреляционных функций от г и 0; наряду с другими функциями координат в (27), (28) они должны быть взяты в точке 0=л/2, г = га, (го — радиус равновесной орбиты).
Важной особенностью выражения (27) является знакоопреде-ленный характер резонансных членов, соответствующих частицам
(15) и (16). Действительно, функция /"(со, tri), характеризующая мощность поглощения На аксиальных резонансных частотах
(16), является положительно-определенной, как видно из ее определения (18) (усредненный квадрат, модуля fe(со, т)). Положительную определенность функций /(±) (со, т) можно доказать с помощью соотношения
Irr {со, tri)+ ^r Iw {со, т)± —1ш/'ф(со, т) =
=Idco' S ({Г{а'т)±т)У (Г(со'*т>)-
т ——со
К, m')))if3L. (30),
Qr Jl (Z0)2
В результате усреднения по фазам to'=to, т' = т, и выражение в правой части (30) оказывается равным квадрату модуля сомножителя в круглых скобках, умноженного на
Таким образом, оказывается, что на комбинационных частотах Qg-' и ?2(г_) мощность поглощения является отрицательной, а на частотах Qe+) и й(г+) — положительной. В этом нетрудно усмотреть аналогию с рассмотренным выше примером поглощения волн гармоническим осциллятором, переносимым вдоль окружности. Действительно, частица, совершающая колебания вокруг-равновесной окружности, представляет собой как раз такую систему. В отличие от формулы (15.27) соответствующие слагаемые § 16. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 207
в (27) являются резонансными не только для частот Q±Qe, но и для более высоких гармоник mQ±Qe. Появление высших гармоник связано с учетом релятивистского характера движения (в нерелятивистском случае вклад высших гармоник мал). Радиальные колебания, как отмечалось выше, сопровождаются азимутальными и временными осцилляциями, поэтому соответствующие корреляционные функции в (27) /(±) имеют более сложный вид. Это, одна-ко, не изменяет вывода о существовании отрицательного поглощения на разностных частотах mQ—Qr, причем, как и в аксиальном случае, появление высших гармоник обусловлено релятивистскими поправками. На частотах mQ-f Qr имеет место поглощение.
Два последних слагаемых в (27) описывают поглощение на гармониках частоты обращения со = mQ. Знак этого выражения зависит от величины расстройки частоты вынуждающей силы со относительно mQ, как и в случае электронов, движущихся по окружности в магнитном поле (15.38). В действительности (27) описывает также и случай движения в однородном магнитном поле в плоском пространстве-времени, если рассматривать круговые орбиты заряженных частиц при наличии внешнего магнитного поля (§ 3) и затем положить ^v = T1^. В предельном случае метрики Минковского частоты Qe и Qr становятся равными частоте обращения Q, смещенные резонансы (15), (16) сливаются с несмещенными (14), и выражение (27) переходит в (15.38). Таким образом, полученная выше формула (27) обобщает результат, найденный ранее для случая пространства Минковского на случай движения частиц около черных дыр. Подчеркнем, что наличие гравитационлого поля приводит к «расщеплению» циклотронного резонанса и появлению смещенных резонансов (15), (16), при этом выделяются линии отрицательного поглощения CO = Qq-',, со = Qr-'. Этот эффект аналогичен появлению смещенных резонансов в скрещенном поле (см. (15.41, 43)).
