Справочник по физике для поступающих в ВУЗы - Гаевой А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные нм по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими. К ним относится н рассматриваемая составляющая веса маятника P1.
Количественные соотношения, характеризующие- колебательное движенве, устанавливаются обычно для математического маятника. Математическим маятником называется тяжелая материальная точка, подвешенная на товкой нерастяжимой и невесомой нитн. Рассмотренный выше маятник при ближеино можно' считать математическим.
"
Голландский ученый Христиан Гюйгенс нашел, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебания математического маятника пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного паления:
где I—длина маятника, g — ускорение свободного падения. Из приведенной формулы следует, что при небольших углах отклонения период колебаний математического маятника не зависит ни от амплитуды колебания, ни от массы маятника.
Маятник является наиболее простым, удобным и точным прибором для определения ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения g находят по формуле
Смещение математического маятника, а также любого тела, совершающего гармоннческне колебания, определяется формулой
где а — амплитуда колебания; стоящая под знаком синуса величина <р0) называется фазой колебания. В момент времени t = О фаза колебания обозначается через зд н называется начальндй фазой колебания.
При колебаниях маятника происходит процесс превращения потенциальной энергии в кинетическую, и наоборот. В крайних положениях маятник обладает наибольшей потенциальной энергией; прн движении маятника к положению равновесия возрастает его скорость, а следовательно, увеличивается кинетическая энергия. В момент прохождения положения равновесия маятник обладает только кинетической энергией, равной потенциальной энергии при наибольшем отклонении, так как в любой момент времени выполняется закон сохранения энергии: Wk -J- Wn = const. В течение одного периода маятник два раза обладает максимальной потенциальной энергией и два раза — максимальной кинетической энергией. В приведенных рассуждениях трение н сопротивление среды во внимание не принимались.
Задача 1. Чему равен период колебания математического маятника, находящегося в лифте, который движется вниз с ускорением 0,25g? Длина нити маятника I=GO см.
X=asin (cot H- «Po).
'83
Решение. Кабнна лифга движется вниз с ускорением 0,25g. Следовательно, результирующее ускорение равно (g—0,25g). Поэтому
т-*Уї^-*Ут'-
Ответ. T= 1,79 сек.
Задача 2. Материальная точка массой т=20г совершает гармоническое колебание с амплитудой А = 10 см. Найти максимальную силу, действующую на точку, если коэффициент возвращающей силы k — 0,18 Hjм. Какова величина ускорения, скорости и потенциальной энергии точки в момент времени, когда ее смещение равно € см?
Решение. Очевидно, на точку действует наибольшая сила в момент времени, когда ее смещение равно амплитуде, т. е. при Jt = = А. Следовательно, Fmax = kA; Fntax = 0,18 н\м -0,1 M= 0,018 н. Ускорение точки
kx 0,18 н/л . „
а = — —; a — — ^• 0,06 м = —0,54 м/секК
Потенциальная энергия равна работе внешни? сил, которую нужно совершить, чтобы вывести материальную точку из состояния покоя и отклонить ее на величину смещения х. Как было показано выше* ДО
работа упругой силы численно равна — . Следовательно, потенциальная энергия
Wn = у kx\ Wn = 3,24 • IO-4 діж.
Скорость определяется из формулы кинетической энергии
-Vlr-
Кинетическая энергия равна разности полной и потенциальной энергии, но’ поскольку полная анергия для любого момента времени равна потенциальной в крайнем положении, то
At hr I Ь
84
Следовательно,
V=JZr; v w 0.24 м/сек.
О т Bie т. а = — 0,54 м/сек2; v я 0,24 м/сек-, Wn = 3,24 • 10~« дж. Задача 3. Колебание точки задано уравнением х=10Х
X sin ^15,7/ 4- j . Найти амплитуду, частоту и период колебаний. Определить смещение4 точки и фазу колебания в момент времени
Решение. Для решения задачи сравним заданное уравнение с уравнением гармонического колебания, записанного в таком виде:
х = crsin +
Из сравнения следует, что амплитуда а = 10 см; Щ-1 = 15,7/, следовательно, период T = = 0,4 сек; тогда v = ~ = р ^сек ~ 2’^ г1*;
фаза колебания ? = 15,7/ + = 15,7 • 0,1 + — = — + я,
2к 1с 2к T п 3 _
или иначе: у = -у / + — = — . — 4- ^ = — л. Смещение точки х —
= Ю см sin 4- л = 10 • 0,707 см = 7,07 см.
_4
О т в е т. а = 10 CM; v = 2,5 e«; T1 = 0,4 сек; лс = 7,07 Mt; 3
^=T"-
§ 31. Затухающие колебания
Маятник, выведенный из состояния равновесия и не подвергающийся действию внешних сил, совершает колебания, которые называются свободными, или собственными колебаниями. Свободные колебания совершаются под действием только внутренних сил и поэтому могут происходить в течение очень длительного времени, т. е. °ни являются практически незатухающими. Частоту собственных
колебаний называют собственной частотой; она определяется свойствами колеблющегося тела. Так, собственная частота колебаний
