Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы начнем исследование уравнений тяготения Эйнштейна
с составления уравнения первого порядка, дающего характеристики
исследуемой системы уравнений. С физической точки зрения уравнение
характеристики представляет закон распространения фронта гравитационной
волны.
Умножая уравнения (53.01) на и суммируя, мы получаем соотношение
между инвариантами тензора кривизны и тензора массы. Это соотношение
позволяет написать уравнения тяготения в виде
Для контравариантного тензора кривизны Rв Добавлении Б выведено выражение
Таким образом, последний член в (53.04) не содержит вторых производных, а
представляет однородную квадратичную функцию от величин Газ, а значит и
от первых производных фундаментального тензора.
Я1"-§-Л = -*7'1И
(53.01)
R = у.Т
(53.02)
(53.03)
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
239
Вторые производные входят, кроме первого члена, также и в величины Г1".
Но эти последние содержат вторые производные только через посредство
первых производных от величин
Г = ?в?г:*, (53.06)
введенных нами в § 41. Напомним, что оператор Даламбера от
некоторой функции 6 может быть написан как в виде
a'> = l'l?k- <53'07)
так и в виде
откуда
а также
'53'08,
1* = -7=ЗГ,<1Л=гЛ (53.09)
Г = - ?*". (53.10)
Величины Г'1'' получаются из Г" по правилу, формально совпадающему с
правилом составления полусуммы контравариантных производных, а именно
:-1 (V'lrv+Vvr11), (53.11)
или подробнее
га,_ j ^.va dg^
- 2
Разумеется, поскольку Г" не есть вектор, величины Г'1'1 не являются
тензором. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения
уравнений Эйнштейна.
Уравнения Эйнштейна являются общековариантными и, следовательно,
допускают преобразования координат, содержащие четыре произвольные
функции. Пусть уравнения решены в каких-нибудь произвольных координатах.
Мы можем перейти тогда к другим координатам, взяв в качестве независимых
переменных четыре решения уравнения = 0. Эти решения можно выбрать так,
чтобы удовлетворялись неравенства для формулированные в § 35, а также
некоторые дополнительные условия. Но если каждая из координат
х0, хг, х.2, х3 удовлетворяет уравнению то в данной
коор-
динатной системе будет
Га = 0, (53.13)
а следовательно, и
r'iV = 0. (53.14)
Такую координатную систему мы будем называть гармонической.
240
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
Вопрос об однозначности выбора гармонической координатной системы (и о
дополнительных условиях, которые бы гарантировали однозначность) нас пока
не интересует и будет рассмотрен в другом месте (§ 93). Нам важно здесь
констатировать, что уравнения (53.13) совместны с уравнениями Эйнштейна и
что они не налагают по существу никаких ограничений на их решения, а
только суживают класс допустимых координатных систем *).
При условии (53.13) выражение для R^ упростится и примет вид
Это выражение для Rсодержит вторые производные только от одной величины,
а именно от одноименной компоненты фундамен-
UV
тального тензора g' , причем эти вторые производные группируются в виде
оператора Даламбера.
Вид уравнения характеристик данной системы уравнений зависит только от
членов с высшими производными, входящих в эту систему. В случае системы
уравнений (53.01) и (53.13) членами с высшими производными являются те,
которые группируются в виде оператора Даламбера.
Поэтому для системы уравнений тяготения характеристики будут те же, как
для уравнения Даламбера
Но эти последние легко найти. Как показано в Добавлении В, они имеют вид
есть уравнение фронта волны т. е. уравнение движущейся поверхности разры
за значений поля.
Уравнение (53.17), дающее закон распространения фронта гравитационной
волны, совпадает с положенным в основу всей теории пространства и времени
уравнением, дающим закон распространения фронта световой волны в
свободном пространстве **). Коротко можно сказать, что тяготение
распространяется со скоростью света.
*) Условия Га = 0 были впервые введены де-Дондером [Ю] и Ланчосом [i'].
**) При выводе этого закона из уравнений Максвелла (§ 3) мы предполагали,
что пространство-время является евклидовым. Но, согласно замечанию,
сделанному в конце Добавления В, тот же результат получается и без этого
предположения, если исходить из общековариантных уравнений Максвелла
(53.15)
? 6 = 0.
(53.16)
& дх". дх.,
U.V д<о диз
(53.17)
где
to(x0, xt, х2, x.j) = const
(53.18)
(§ 46^
§ 54] СРАВНЕНИЕ С ПОСТАНОВКОЙ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ Ньютона 241
Тот факт, что по теории Эйнштейна тяготение распространяется со скоростью
света, имеет большое принципиальное значение. Он показывает, что принятая
в этой теории форма уравнений тяготения находится в согласии с общим
положением теории относительности, согласно которому существует
предельная скорость распространения всякого рода действий, равная
скорости света в свободном пространстве. Существование конечной скорости
распространения тяготения устраняет те противоречия, которые были присущи
ньютоновой теории тяготения, рассматривавшей мгновенные дальнодействия.
