Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространства и времени, а эги свойства определяют движение масс.
Постараемся сформулировать эти идеи математически.
В предыдущем параграфе мы видели, что в системе координат, практически
совпадающей с инерциальной системой ньютоновой механики, ньютонов
потенциал тяготения U входит в коэффициент при dt2 в выражении для
квадрата интервала, т. е. в коэффициент gM общего выражения
ds2 - g^dxv- dx1. (52.0 Г
С другой стороны, потенциал тяготения U удовлетворяет, в ньютоновом
приближении, уравнению Пуассона
Ш = - 4тгТр. (52.02)
Искомое обобщение ньютоновой теории тяготения должно быть кова-риантным
относительно произвольных преобразований координат. Поэтому мы не можем
рассматривать в качестве обобщения ньютонова потенциала отдельное
слагаемое в коэффициенте g0э, или самый этот коэффициент, а должны ввести
в рассмотрение всю совокупность коэффициентов g,., и считать, что
обобщением ньютонова потенциала тяготения является фундаментальный
метрический тензор. Этот тензор должен удовлетворять общековариантной
системе уравнений, одно из которых должно, в ньютоновом приближении,
переходить в уравнение Пуассона для ньютонова потенциала U. Общее число
уравнений должно, вообще говоря, равняться числу неизвестных функций, т.
е. числу компонент тензора g , которое равно десяти.
В левой части уравнения Пуассона стоит дифференциальный оператор второго
порядка от U (оператор Лапласа). Наиболее простым общековариантным
обобщением левой части уравнения Пуассона будет поэтому тензор,
содержащий линейным образом вторые производные от фундаментального
тензора g\iv.
Таким тензором является тензор кривизны (второго или четвертого ранга).
Тензор кривизны четвертого ранга R,t.K "з отпадает, так как его
составляющие не содержат таких выражений, которые бы представляли
обобщение оператора Лапласа. Кроме того, число составляющих R^,^ слишком
велико (оно равно 20, т. е. вдвое больше
§ 52] УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 237
числа неизвестных функций) *). Остается, следовательно, тензор кривизны
второго ранга, который как раз имеет должное число составляющих.
В правой части уравнения Пуассона стоит плотность масс р. Обобщением
плотности масс, имеющим надлежащий тензорный характер, является тензор
массы T:iV, инвариант которого равен инвариантной плотности массы.
Мы приходим к выводу, что обобщением уравнения Пуассона должно являться
соотношение между тензором кривизны второго ранга /?'" и тензором массы
Г^.
В предыдущих главах мы видели, что при отсутствии тяготения расходимость
тензора Г'1'1 равна нулю:
= 0. (52.03)
Мы сохраним это уравнение и для общего случая, отложив обсуждение
связанных с ним вопросов (об энергии поля тяготения, об интегральной
форме законов сохранения и др.) до главы VII.
С другой стороны, в конце главы III мы установили, что тензор
_ ^av _ _1_ g.p.v(52.04)
называемый тензором Эйнштейна или консервативным тензором, обладает тем
замечательным свойством, что его расходимость тождественно равна нулю
V,G^ = 0. (52.05)
Поэтому, если мы положим
/Г -= (52.06)
где у.- постоянная, то уравнение (52.03) для тензора массы будет
следствием соотношения (52.06).
Уравнению (52.05) удовлетворяет, как мы знаем, также фундаментальный
тензор g!XV; поэтому мы могли бы, не нарушая (52.03), добавить к левой
части (52.06) член вида Ag"av, где л - новая постоянная. Однако такая
добавка противоречила бы требованию, чтобы при отсутствии масс поле
тяготения равнялось нулю. В самом деле, согласно нашим основным
положениям, изложенным в начале этого параграфа, отсутствие поля
тяготения означает отсутствие отклонений геометрии пространства-времени
от евклидовой, а значит и равенство
*) Правда, уравнения для тензора "р, даже в избыточном числе, могут
оказаться совместными, как это имеет место в случае пространства
постоянной кривизны [уравнения (49.12)]. Но в этом случае уравнения
позволяют определить метрику чисто локально (т. е. без привлечения
предельных условий) и имеют поэтому другой характер, чем уравнение
Пуассона, для которого предельные условия существенны.
238
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
нулю тензора кривизны. Следовательно, при Г11' = 0 должно быть и Rv* = 0
(а также R = 0), что возможно только, если левая часть уравнений,
связывающих G'1'' с Т|lv, не содержит члена (т. е. только, если л = 0).
Таким образом, надлежащим обобщением уравнения Пуассона для потенциала
тяготения являются именно уравнения (52.06).
Можно доказать, что при поставленных условиях [соответствие с уравнением
Пуассона, общая ковариантность, линейность во вторых производных от
тождественное выполнение соотношения (52.05) для левой части,
евклидовость при отсутствии масс] полученные уравнения являются
единственными.
Уравнения (52.06) называются уравнениями тяготения Эйнштейна и играют
фундаментальную роль в теории тяготения. Дальнейшие параграфы будут
посвящены их исследованию.
§ 53. Характеристики уравнений Эйнштейна.
Скорость распространения тяготения
