Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через W', Р', К', М' результаты подстановки в W,
Р, К, М величин г'а, va вместо га, va [формулы (26.36) и (26.37)]. Мы
получим
с*М' = (са + |^ + |^)л1-(1+1 -J) (V • Р), (28.04)
Последние формулы могут быть с той же точностью написаны в виде
Сравнивая эти формулы с обычными формулами преобразования Лоренца (26.27)
и (26.28), мы видим, что составляющие Рх, Ру, Pz вектора Р преобразуются,
как координаты х, у, z, а полная масса М преобразуется, как время t. Это
значит, что совокупность величин
/=-т1Г+а • P + V- К_+ю • М
(28.01)
(28.02)
(28.03)
или, если ввести полную массу М,
= р _ VM + ^ (у . (р _ уЖ)).
(28.05)
(28.06)
Р' = Р - VM -f-
l)^(V-(P-VM)). (28-07)
= P^Pj. Р" - Рц\ P3-=PZ (28.08)
§ 28] ТЕНЗОРНЫЙ ХАРАКТЕР ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ 119
представляет контравариантный вектор. Ковариантные составляющие этого
четырехмерного вектора равны
= Рх = ~-Рх; Р.2 = -Ру, P* = -Pz. (28.09)
Если мы будем рассматривать всю систему зарядов, как одно сложное тело,
то мы должны приписать ему массу М и количество движения Р. Мы можем
также приписать ему (точнее, его центру инерции) скорость
V = M <28Л0)
и массу покоя
Iх = ]/Г М2 -(28.11)
Величина р. равна значению М' в той системе отсчета, в которой Р' = 0. На
этом примере видно, что масса покоя тела зависит от его внутреннего
состояния (в данном случае - от состояния движения составляющих его
частиц).
Обратимся теперь к закону преобразования величин К и М- Производя туже
подстановку (26.36) и (26.37), мы получим для К' иМ' выражения:
К' = (l +- к - 2^2 V (V ¦ Ю - i [V х М], (28.12)
M,^(1+S')M"iV(V-M)+(1+S)tv><Ki- <28ЛЗ)
С той же точностью эти формулы могут быть написаны в виде К' = (V • К) +
-у^====- { К - (V • К) - ^ [V X М] j, (28.14)
У 1
= М)+ { м - р (V ¦ М)4- [V х К] | • (28.15)
Сравним эти формулы с законом преобразования антисимметричного тензора,
причем будем иметь в виду, что в смысле трехмерного векторного анализа К
представляет собою полярный, а М-аксиальный вектор. Соответствующие
формулы преобразования выписаны нами в § 24 для случая тензора
электромагнитного поля [формулы (24.37) и (24.38)]. Для того чтобы
получить совпадение, мы должны
считать, что вектор М преобразуется как Н, а вектор К как i-E.
[Другая возможность М ~ Е, К ~~~гН устраняется тем, что К и Е
120
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. И
представляют полярные, а М и Н - аксиальные векторы.] Таким образом, мы
можем ввести антисимметричный тензор с ковариантными составляющими:
Ж 23 = Мх; Ма1 = Му, Mv2 = Мг,
М10 - сКх, Ж20 - сКу, M.jq - г/Сг,
или, что то же, с контравариантными составляющими:
М^ = МХ; MSL = My, M12 = MZ, )
М1и = сКх\ М^ = сКу, Ж80 = сКг. J
Проверкой служит то, что для одной частицы
Мх = т{х2и6- х6и2) и т. д., 1
cKv~tn(x1u° - х°и1) и т. д. I
Здесь через и0, а1, и1, us обозначены составляющие четырехмерной
скорости; для координат и времени введены обозначения с
верхними
значками х° = ct, х1 = х, х2 = у, х2 ~ z для того, чтобы подчеркнуть,
что они представляют контравариантные величины.
Таким образом, мы выяснили, что из десяти интегралов движения четыре (а
именно, энергия и количество движения) представляют четырехмерный вектор,
а остальные шесть (интегралы центра инерции и момента количества
движения) - антисимметричный тензор. Это позволяет утверждать, что если
эти величины постоянны в какой-нибудь одной системе отсчета, то они будут
постоянными и во всякой другой системе отсчета. То обстоятельство, что
законы преобразования выведены нами из приближенных формул, связано с
приближенным характером всей постановки задачи: мы уже упоминали, что,
строго говоря, энергия и количество движения системы зарядов вообще не
остаются постоянными, а могут тратиться на излучение.
Зная тензорный характер интегралов движения, мы можем проверить, что
выражение (28.01) действительно представляет собою инвариант. Для этого
достаточно переписать выражение для / в четырехмерных обозначениях.
Согласно результатам § 23, мы имеем
¦c = ja0; ах=-а1; ау = -а2, аг = -ай, (28.19)
где а0, аи а2, ав есть ковариантный вектор.
Далее,
^ = г%0; Vy = с<о20; Vz = с<и80, (28.20)
"r = "2:v = "8Ы "г = "12. (28.21)
где (u,-fc-ковариантные составляющие антисимметричного тензора.
Пользуясь четырехмерными обозначениями (28.08) и (28.17) для инте-
(28.16)
(28.17)
(28.18)
§. 29]
ЗАМЕЧАНИЯ К ЗАКОНАМ СОХРАНЕНИЯ
121
гралов движения, мы будем иметь вместо (28.01)
/ = - а0Р° - atPl - а.Р1 - а,,Р-' +
+ ш10/и10 + со20/И20+ co.i0M80-f"OggiW(r) + ш31Л181 + тпми, (28.22)
что и доказывает наше утверждение об инвариантности величины I.
§ 29. Замечания по поводу обычной формулировки законов сохранения
В этом параграфе мы сделаем некоторые замечания критического характера по
поводу обычной формулировки законов сохранения. Для определенности мы
будем говорить о законах сохранения энергии и количества движения, так
как они рассматриваются чаще всего.
Выражения для энергии (или полной массы) и для количества движения обычно
