Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 43

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 167 >> Следующая

Вычислим теперь двумя способами изменение функции Лагранжа в результате
бесконечно малого преобразования Лоренца. Первый способ основан на
применении уравнений движения, а второй-на непосредственном
преобразовании, с использованием формул (26.48) и (26.50). Мы имеем
8i = S(H'(tm)" + fT7's4 (27М)
а
поск^аьку функция L не содержит явно времени.
ВЫВОД ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
115
Здесь под разумеется трехмерный вектор с составляющими
dL dL dL dL ,,
, - ; аналогичное значение имеет -т- . Используя урав-
dx" dy" dz" dva J J'*'
пения движения и соотношение (27.08), мы можем написать
81 =42 <27Л0>
С другой стороны, мы можем вычислить изменение функции Лагранжа L и без
использования уравнений движения. Очевидно, что L не меняется при
смещении начала и при повороте пространственных координат. При
изменении начала счета времени L меняется на
величину-~ • т. В самом деле, если = где t' - t-j-т,
то
//(*) = ?(* -т) = 1(9-*-^-. (27.11)
Изменение же I в результате перехода к движущейся системе отсчета дается
формулой (26.48), где в качестве F достаточно взять члены первого порядка
(относительно V) из (26.50), а именно
F= '%( - 'па + '2та-^-2^ 2Тг^Л>т)(V ' (27Л2)
а
Таким образом,
6
(Ь фа)
bL = ~z^r+-Jr = it(--zL+F)- (27ЛЗ)
Приравнивая (27.10) и (27.13), получаем
<27Л4>
а
откуда
+ - const. (27.15)
а
Левая часть этого выражения представляет линейную функцию от десяти
параметров преобразования Лоренца. Подставляя в (27.15) выражения (27.07)
и (27.12) для 8г0 и для F, мы можем написать:
/== а • P + V • К + ю • М=
const, (27.16)
8*
116
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. II
где уже W, Р, К. М от параметров не зависят и равны:
а
dL
P=S^' (27.18)
а
К = 2 + w 2\Ф^\ + i v°w}г*~1 244*
b
ф фа)
м
(27.19)
= 2[Г"><Ш- (27.20)
Левая часть (27.16) должна быть постоянна, каковы бы ни были значения
параметров т, а, V, о). Это возможно только, если величины W, Р, к, м
сами постоянны. Мы получаем, таким образом, десять интегралов, причем
каждый из них связан с определенным параметром в бесконечно малом
преобразовании Лоренца. Легко видеть, каков физический смысл этих
интегралов: W есть интеграл энергии, Р - интеграл количества движения, К
- интеграл движения центра инерции, М-интеграл момента количества
движения. Таким образом, найденные десять интегралов представляют
классические интегралы системы материальных точек с поправками на теорию
относительности.
Выпишем найденные интегралы в явной форме. Мы имеем
.. ГЬ |
а а а а, Ь
(афЬ)
+ i S'frF-T^r+i^ 2 OvOV -r*))(vb-(r0-r6)).
a, b a,b
афЬ кафЪ)
(27.21)
Это есть энергия системы.
Если мы положим
W = c^ma+E, (27.22)
а
то величина Е будет энергией в обычной нормировке (эта величина
обращается в нуль, когда взаимные расстояния неограниченно возрастают, а
скорости равны нулю). Наряду с энергией W мы будем рассматривать
соответствующую массу
W чч ... , Е
§' 27] ВЫВОД ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 117
которую можно называть полной массой системы. Согласно определению
(27.23), полная масса системы равна сумме масс покоя отдельных частиц,
сложенной с той массой, которая соответствует их кинетической энергии и
энергии взаимодействия.
Перейдем к остальным интегралам движения системы. Согласно
(27.18), интеграл количества движения равен
2
Р - ^ mava ^ 1 + +
а
. I 1 V еаеЪ , (Гп - ГЪ)(Уъ-(Га - ТЬ))\ ,r,'7r,л^
Г 2С2 Ь |Гв-Г6| |га-гь|2 Г
а, Ь (афЬ)
Чтобы написать в явной форме интегралы движения центра инерции, положим
для краткости
Ma - ma{l +2^) + 2^ 2 | та - ть Г (27.25)
ь
(Ьфа)
Мы будем тогда иметь
К = 2ж*ага - tP. (27.26)
а
Заметим, что
= (27.27)
а
где под М следует разуметь выражение (27.23), взятое в том же
приближении,. в каком дано Ма (это соответствует нерелятивистскому
приближению для энергии Е).
Введем радиус-вектор R центра инерции системы по формуле
MR = 2 М*ага. (27.28)
а
Выражение (27.26) для К примет вид
К = MR - /Р. (27.29)
Постоянство величины К дает закон движения центра инерции системы.
Наконец, интегралы момента количества движения системы равны
М
а
= 2 ,Па{1 +§)[гаХ Ve] +
|га-Ьгь| 1 [г" Х Vfli |r0 - r7|2
I 1 V1 eneb [ r_ " 1 [r0Xrb](vb.(r0 rj))| ,0_
+ 2j |rfi -rb| i X V&1 lr-o_r,a }• (^7.30)
a, b ШфЬ)
118
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
Гг л. И
§ 28. Тензорный характер интегралов движения
Мы должны теперь исследовать, что представляют собой найденные интегралы
в смысле их поведения при преобразовании Лоренца. Если бы мы наперед
знали, что выражение
есть инвариант, то мы могли бы заключить о тензорном характере величин W,
Р, К, М на основании свойств параметров т, а, V, ю бесконечно малого
преобразования Лоренца. Поскольку, однако, инвариантность выражения
(28.01) нами не доказана, мы изберем более- прямой путь, хотя он и связан
с довольно утомительными выкладками (последних мы приводить не будем). А
именно, мы подвергнем величины W, Р, К, М конечному преобразованию
Лоренца и посмотрим, как они выражаются через первоначальные величины.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed