Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 42

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 167 >> Следующая

d dL dL n om
---------------= 0 и т. д. (26.39)
dt дха dxa
Если же в функцию Лагранжа входят также и ускорения, то
уравнения движения должны быть написаны в виде
rf2 dL , d dL dL n ... ...
------------------^---------------- :-= 0 и т. д., i 26.40)
dt2 dxa dt dx" dxn
где xa, ya, z" - составляющие ускорения а-той частицы.
Если интеграл действия 5 инвариантен по отношению к преобразованию
Лоренца, то уравнения движения будут, очевидно, кова-риантными.
112
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
1гл. и
Рассмотрим, например, уравнения движения одной частицы, получаемые из
функции Лагранжа (26.01). В этом случае интеграл действия может быть
написан в виде
• 3
5 = - тес2 j | ^ Akdxk (26.41)
^ k = 0
(где xQ - ct). Его инвариантность вытекает из инвариантности
дифференциала собственного времени di и составленной из потенциалов
линейной дифференциальной формы (24.02).
Но для ковариантности уравнений инвариантность интеграла действия 5 не
является необходимой: достаточно, чтобы преобразование Лоренца не меняло
вариации интеграла действия. Эго видно уже на примере выражения (26.41).
Если мы совершим над потенциалами градиентное преобразование вида
(26.17), где у- некоторая функция, то 5 заменится на
S' = 5 -i-(7W_ yu>), (26.42)
где у}1) и у(2>-значения функции у на нижнем и на верхнем пределе. Но так
как на пределах вариации исчезают, то,будет
85' = 55, (26.43)
и уравнения движения не изменятся, как это и должно быть, поскольку
градиентное преобразование потенциалов не меняет поля.
Применим эти рассуждения к уравнениям движения системы взаимодействующих
зарядов и к функции Лагранжа (26.23). Обозначим через L' (t') выражение,
полученное из функции Лагранжа L(t) заменой гa(t) на гa(t') и va(t) на
va(f) по формулам (26.33) и (26.35). Если первоначальный интеграл
действия был
(2)
S= ( L(t)dt, (26.44)
то преобразованный интеграл будет
(2>
5'= J V ((') dt'. (26.45)
О)
Таким образом, изменение интеграла действия в результате преобразования
Лоренца равно
(2) (2)
5' - 5= J L'(t')dt'- J L{t)dt (26.46)
U) tl)
RUBOTI. ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
113
или, если ми и первом интеграле обозначим переменную интегрирования t'
той же буквой t, как и во втором,
(2) fit
S' - 5 = f L' (t) dt- J L (t) dt. (26.47)
m id
Здесь L' (t) есть выражение, получаемое из L(t) заменой гя на га и va на
Va по формулам (26.36) и (26.37).
Из соотношения (26.47) следует, что для ковариантности урав-нений
движения достаточно, чтобы разность
{L'(t) - L(t)}dt = dF (26.48)
была полным дифференциалом некоторой функции F. В самом деле,
тогда будет
S' - S = Л2> - Л1', (26.49)
где и Я1' - значения функции F на пределах, и, следовательно,
вариации интегралов S и S' будут друг другу равны.
Выполняя вычисления, мы можем убедиться, что соотношение
(26.48) действительно выполняется, причем функция F равна
a a
Тем самым доказано, что получаемые из функции Лагранжа
(26.23) или (26.24) уравнения движения действительно ковариантны (в
данном приближении) по отношению к преобразованию Лоренца.
§ 27. Вывод законов сохранения в механике системы точек
Обратимся теперь к выводу интегралов уравнений движения. Для этого
рассмотрим изученное в § 23 бесконечно малое преобразование Лоренца,
содержащее все десять параметров. Напомним, что параметры эти таковы:
изменение начала счета времени т, смещение начала пространственных
координат а, переход к системе отсчета, движущейся относительно
первоначальной со скоростью V, бесконечно малый поворот пространственных
осей на величину о>. Нам нужно вычислить получаемое в результате такого
преобразования изменение вида функций от времени, представляющих
координаты каждой частицы. Это изменение §гь происходит от двух причин:
& J-1K, 183. Б, Л. Фок
114 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ |ГЛ. ТТ
во-первых, от векторного характера гй и, во-вторых, от изменения
аргумента t.
Изменение от векторного характера г6 равно, согласно (23.06) и
(23.17),
Дгй = а -V* + ["Xrft]. (27.01)
Аргумент t меняется для Ь-пой частицы на величину
д/6 = т -JL(V-rj), (27.02)
где первый член происходит от изменения начала счета времени, а второй-от
перехода к движущейся системе отсчета. [Формула ^27.02) есть одно из
уравнений (23.06).]
Изменение A*r& вследствие изменения аргумента в функции гb(t) получается
из равенства
гь (0 = г'ъ (*') (*' = /4- Ыь), (27.03)
откуда
П (0 = Г b{t - Мь) = гь (0 - v6 Мь (27.04)
и, следовательно,
Д*гь = г'ъ (0 - гь (о = - xb 1(ь. (27.05)
Полное изменение вида функции гb(t) будет равно
сг,, - Arb + A*r" = \rb - vbbtb. (27.06)
Таким образом, согласно (27.01) и (27.02), полное изменение 8г6 выразится
через параметры бесконечно малого преобразования Лоренца следующим
образом:
8г6 = -Vjt-|- а - Vt-\- (V • гь)+ [(r) X гь1> (27.07)
тогда как полное изменение охь скорости хь будет, очевидно, равно
Sv" = ^8rb. (27.08)
В выражении для 8гь члены, содержащие V, совпадают с членами первого
порядка (относительно V) в формуле (26.36), как и должно быть.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed