Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
поле. От этого неудобства легко избавиться, если вспомнить, что поле не
меняется при градиентном преобразовании потенциалов, т. е. при замене
ф->ф
л . а . ду
* ' дх,- '
(26.17)
где у- произвольная функция от координат и времени. Полагая
/ = Й-<26|8>
мы уничтожим в (26.15) второй член, хотя и усложт": немного выражение
для At. В результате получится
ф = -|7^Л-; (2бл9>
д ^ _?а. | Vai_[ i^k -^пк) ixj ai) j ^0 20)
* 2с I | Г [ ашА | Г Т*а [3 )
fc = l
Нетрудно проверить, что расходимость нового выражения для векторного
потенциала равна нулю:
з
\дА
Ш = 0- <2<Л21>
1=1
Подставляя эти значения потенциалов в последние два члена функции
Лагранжа (26.01), получим
•еФ + Т(А-У)--1т5-Г +
ееа [ (V;V"I , (va ¦ (Г - га)) (у. (Г - та)) | ^ (26 22)
2сМ I г - г" | 1 | г - га |з
Это выражение симметрично относительно частицы, порождающей поле, и
частицы, на которую поле действует. Мы можем считать его
§ 26] постановка задлчи о движении системы зарядов
109
приближенным выражением закона взаимодействия двух частиц. Это позволяет
нам написать функцию Лагранжа для системы частиц в виде
, V о 1 / , 1 V е°-еь ,
L = -Zlm°c*V Г?^Г| +
а а, Ъ
(а ф Ъ)
}• <2в-2з>
а, b
{афЬ)
Впрочем, так как величины порядка и2/с2 предполагаются малыми в законе
взаимодействия, то будет последовательнее пренебрегать более высокими
степенями этих величин везде. Беря первые члены разложения корня
квадратного по степеням гР/с2, мы можем писать вместо (26.23):
, . V/1 з , 1 va\ 1 ХД еавь I
I- W()+2i[jmava + j - Y 2d :F-_r";
а а,Ь
(а ф Ь)
| 1 V /¦ f.f (v"'vb) | (Уд-(г"-Гй))(Уь-(г0-Гь)) 1 /9й94ч
i-4C2 ju в"еМ|Га-ГбГ |ra-r6B I'
a, b (а ф b)
где
V/0 = c*^ma (26.25)
a
есть сумма "энергий покоя" отдельных частиц.
Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании Лоренца в задаче о движении
системы материальных, точек. Пусть задача эта решена для некоторой
системы отсчета. Это значит, что в данной системе отсчета известны
выражения для координат каждой из частиц в функции от времени t этой
системы
г" = га(0- (26.26)
Произведем теперь преобразование Лоренца и поставим вопрос: каковы будут
в новой системе отсчета выражения для новых координат х', у', z'a как
функций от нового времени f? Формулы преобразования Лоренца имеют вид:
г' = г - W + ( - ' ¦ - 1) ~ (V ¦ (г ¦- V0), (26.27)
У
t' = -TL=w(t-±[<y-г)). (26.28)
V
ПО ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ [гл. II
Поэтому новые функции от нового времени получатся в результате исключения
переменной t из уравнений
^ = г a(f) - \t + 1 j ^ { V • (re(0-V0 }, (26.29)
= (26.30)
V
Другими словами, нужно найти корень t уравнения (26.30) и подставить его
в (26.29). Это можно сделать только приближенно, считая
малым по сравнению с единицей. Корень уравнения (26.30) будет
приближенно равен
( = -Й)', + ^(У'Га(0)- (26.31)
Прежде чем подставлять его в уравнение (26.29) напишем это уравнение в
упрощенном виде:
г'а = Га (О - V/ + ^ {(V • га (0) - V2t). (26.32)
Подставляя сюда (26.31), получим приближенно
г; (О = га (О - W' +1 v" (Г) • { - I V*? +¦ (V . г" (Г)) j -
-?f(V-r "(О), (26.33)
где
v0(0 = (%y^)(_r (26.34)
Дифференцируя формулу (26.33) по переменной Г, получим соответствующее
выражение для скорости:
< (О = Va (О -'V Ч- ^ va (Г) ( - I V* +¦ (V . va (О)! -
-^ (V • Va (Г)) +1 V0 (О j - ^ W 4- (V • гй(Г))), (26.35)
где v" есгь производная от v" по своему аргументу.
Заметим, что связь между t и Г зависит от номера частицы а\ это вполне
понятно, так как пересчет к новой одновременности требует, для различных
частиц, введения различных поправок. Старое определение одновременности,
принятое в первоначальной системе отсчета, 'означало одинаковость
значений t для всех частиц (причем значения I' оказываются различными).
При новом же определении
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
111
одновременности, принятом в преобразованной системе отсчета,
рассматриваются уже одинаковые для всех частиц значения f (и различные
f). Поэтому мы можем не писать при t' значка а. Заменяя, кроме того,
символ I' буквой t без штриха и опуская этот аргумент во всех функциях,
входящих в формулы (26.33) и (26.35), мы можем эти формулы написать
короче в виде
!•; = г - V/ + ± vfl j - j V4 + (V • га)} - 2^ (V • га), (26.36) Va = Va
- V + ^-V0 (- -g- V2 + (V • V") j- ^(V • Va) +
+ivM-?^+(v-r") Ь (26'37)
Таков будет вид новых функций r'a, выраженных через новую
независимую переменную (обозначенную нами той же буквой, как и старая).
Выведенные нами формулы являются приближенными; однако, если считать, что
скорости V и va - одного порядка, то сделанные в них пренебрежения - в
точности те же, какие приходится делать при построении функции Лагранжа
(при учете запаздывания), и они лежат поэтому в существе задачи.
Уравнения движения получаются, как известно, путем вариации интеграла
действия
(2'
5 = J L dt, (26.38)
я>
причем, если (как обычно) функция Лагранжа зависит только от координат и
скоростей (и, быть может, от времени), то они имеют вид
