Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вплоть до расстояний порядка миллиарда световых лет, в среднем
равномерно. С другой стороны, если ньютонов потенциал не существует, то
ясно, что форма решения уравнений Эйнштейна должна существенно отличаться
от той, какая соответствует изолированной системе масс и позволяет
приближенно выразить потенциалы тяготения gr* через ньютонов потенциал.
Ввиду изменившегося характера задачи выбор координат также должен быть
произведен заново.
Решение уравнений Эйнштейна, которое соответствует изотропному
пространству с равномерной плотностью масс и которое может быть взято в
качестве фона при рассмотрении огромных областей, включающих в себя много
галактик, было получено в 1922 г.
*) Под Галактикой (с большой буквы) принято понимать ту звездную систему,
в которую входит Солнце. Другие аналогичные звездные системы называются
галактиками (с маленькой буквы).
448 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гЛ.
vll
советским ученым А. А. Фридманом [24]. Как мы увидим, в этом решении
возможно введение таких координат, в которых пространство обладает
геометрией Лобачевского. Мы будем называть поэтому соответствующее
пространственно-временное многообразие пространством Фридмана-
Лобачевского.
Теорию пространства Фридмана-Лобачевского можно получить, исходя из
предположения, что выражение для ds2 допускает группу однородных
преобразований Лоренца. Такое ds2 можно всегда привести к виду
Пространство-время, хотя и не будет само галилеево, но, согласно (94.01),
может быть конформно отображено на галилеево пространство-время. Наличие
группы однородных преобразований Лоренца обеспечивает изотропность
пространства. В частности, начало координат ничем не выделяется среди
других точек пространства; любую фиксированную точку можно при помощи
однородного преобразования Лоренца перенести в начало координат. Таким
образом, однородные преобразования Лоренца играют здесь двоякую роль: они
дают и перенос начала и переход к движущейся системе отсчета.
Напишем ds2 в виде
[см. (44.01)] смешанный тензор кривизны четвертого ранга, получим:
ds1 = Н' (5) (dxl- dxl - dxl- dxl), (94.01)
где
(94.02)
ds2 = H'2 • (eti dxp.
(94.03)
Ml.! ВИДИМ, что
(94.04)
Для скобок Кристоффеля получаются выражения
П? = ^577^ (е" sp?x* + Vх?-'е* S"?xp)' Составляя по формуле
(94.05)
^ f = -Щ-- -д*Г + 194.06)
р [d"lgH 1 аМсЯ /rflg//yn4,
|_ ds* S dS \ dS ) J Л
W" CN
X -- (p. Й..О Йс V*. -1- fio V".. Г.Л -U
§ 94] ПРОСТРАНСТВО ФРИДМАНА ЛОБАЧЙВСКОГО
Полагая здесь а = р, p = v и суммируя по р, получаем
449
d2 lg Я . 5 dig Я , о /d lg Я \2
dS2 ' S dS ' " \ dS )]
+ 2 " d2 lg Я 1 dig Я
dS2 5 dS
е о - тг '
/d lg Я\2'
dS
е"е"
S2
Вычисляем инвариант
R
J3
Я2
ИЛИ
R
d2\gH . 3 dlgH , (d\gH\z
dS2 I s "I'V rfS "J
Я3'1аГ52 I 5 сЬ'Г
Теперь мы можем составить консервативный тензор
= ^р- - ^ А-А-Из формул (94.08), (94.09) и (94.04) получаем
(94.08)
(94.09)
(94.10)
(94.11 j
G
рч '
'nd*lgH , 4 dlgH
~р с I
(А5)'
dS2 I S dS
d2\gH 1 dig Я
dS2 S dS Согласно уравнениям Эйнштейна,
G,, = -
e(j.0().v 4~~
/d\gH\2 A dS j.
e"e,
x^x.,
Ж
8rti
C2 V'
(94.12)
(94.13)
В качестве тензора массы Тл., мы должны взять выражение, соответствующее
"пылевидной" материи
ТА = Р*" А,
(94.14)
где р* есть инвариантная плотность, а и., - ковариантная составляющая
четырехмерной скорости, нормированной по формуле
иА = 1. (94.15)
Для того чтобы выражения (94.12) и (94.14) удовлетворяли уравнениям
Эйнштейна (94.13), нужно прежде всего приравнять нулю первый член в
выражении для G^.,. Это дает
р d2!gЯ , 4 dlgH , (dlgHV dS2 I 5 as "rA dS )
Если положить здесь
0.
(94.16)
H=K*\ \g Н =z 2 \g К,
(94.171
29 Зак. 485. В. А. Фок
450 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [гЛ. VH
то уравнение (94.16) приводится к линейному
ащ , 2 йК
dSз 1 S dS
0 (94.18)
и легко интегрируется. Если считать что при S = оо должно быть
К = 1 (пространство-время галилеево и масштаб в нем обычный), то
будет
К= 1-4 (94.19)
и, следовательно,
Я=1-^ + ^. (94.20)
С этим значением Н будет
=-------7----ТчГ^чЛ* (94.21)
и уравнения Эйнштейна напишутся
S°H ev-e<xv-Xi с2 Р >• (94.22)
Составляя инварианты обеих частей тензорного равенства (94.22), получим
&cy " 12А . 0".
С2 Р SW3' (94.23)
Эти инварианты равны R\ поэтому мы могли бы для вычисления правой части
(94.23) применить непосредственно формулу (94.10), подставив в нее
значение (94.20) для Н. Так как плотность р* положительна, то и
постоянная А должна быть положительна.
При использовании соотношения (94.23) уравнения (94.22) дают
= (94.24)
и после перехода к контравариантным составляющим
(94.25)
Мы получили решение уравнений Эйнштейна, соответствующее отличной от нуля
плотности масс р*, причем эти массы равномерно распределены во всем
пространстве. (В ньютоновой теории подобное решение не существует). Этот
результат был впервые получек А. А. Фридманом в его упомянутой выше
работе 1922 г. [24].
ПРОСТРАНСТВО ФРИДМАНА - ЛОБАЧЕВСКОГО
